中国矿业大学徐海学院 《高等数学》优秀课程建设---历年试题集

2、(10分) 利用拉格朗日乘数法，试在椭球面2x2?y2?z2?1上，求距离平面2x?y?z?6的最近点和最近距离、最远点和最远距离。

解：椭球面2x2?y2?z2?1上点(x,y,z)到平面的距离平方

d2?16(2x?y?z?6)

2令F?(2x?y?z?6)2??(2x2?y2?z2?1) ?Fx?4(2x?y?z?6)?4?x?0??Fy?2(2x?y?z?6)?2?y?0由 ?

F??2(2x?y?z?6)?2?z?0?z?F??2x2?y2?z2?1?0?得驻点

1??11M1?,,???222?11??1,M2??,?,?

?222?且 d(M1)?46,d(M2)?86

由问题知最大值和最小值必定存在，因此 所求最近点为M1?461??11,,??，最近距离为?222?d(M1)?，

最远点为M2??86??12,?11?,?22?，最远距离为

d(M2)?。

四、求解微分方程（每小题10分，共20分）．

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1、求微分方程xdydxyx?y(lny?lnx)的通解.

解：

dydxyx?lnyx

令u?,则

dydx?u?xdudx,代入方程得

u?xdudx?ulnu 即

duu(lnu?1)?dxx

两边积分?dlnuduu(lnu?1)dxx??dxx

即?lnu?1??， 则ln(lnu?1)?lnx?lnC

即lnu?1?Cx，因此lny?lnx?1?Cx

dydx2、解微分方程x?y?3x,y2x?1?0.

解：原方程可变为

1xdydx?yx?3x，

则P(x)?,Q(x)?3x

?原方程的通解为 y?e??xdx1[?3xe2?xdx1dx?C]

1x(x?C)

31x(?3xdx?C)?由yx?1?0得C??1

1x(x?1)

3则原方程的特解为 y?

五、综合题

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1、设函数f(x)连续，且有f(x)?ex?f(x).

?x0tf(t)dt?x?f(t)dt，求函数

0x解：f?(x)?ex??f(t)dt，f??(x)?ex?f(x)

0x即f??(x)?f(x)?ex 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，且

xf(0)?1,f?(0)?1. 设为y???y?e

特征方程为r2?1?0 即r??i

则相应的齐次方程通解为Y?C1cosx?C2sinx， 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解为y*?则此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为

y?C1cosx?C2sinx?12e 12(cosx?sinx?e)

xx12e

x由f(0)?1,f?(0)?1得f(x)??xy2?2、讨论函数f(x,y)??x2?y2?0?x?y?0x?y?02222在点（0，0）处的连

续性，可导性和可微性.

解：由于

xy222x?y?xy222x?y?x?0

（当x?0,y?0时） 所以limxy222

x?0y?0x?y?0?f(0,0)

故f(x,y)在（0，0）点连续。 fx(0,0)?lim

?f(?x,0)?f(0,0)?x?x?0?0

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同理fy(0,0)?0

故f(x,y)在（0，0）点偏导数存在。

?但是令?x?0,?y?0，

??f(?x,?y)?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y?x??y??x?y2223

22不趋向于0，

2(?x??y)故函数f(x,y)在(0,0)不可微。

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