中国矿业大学徐海学院 《高等数学》优秀课程建设---历年试题集

4、(?,]

33115、y?C1e?x?C2e4x 6、4?22 二、计算下列偏导数

1、（8分）设w?f??w?x?x?y,y??w?w，求. ,?z??x?y解：

?f1?1?wx??1?,?f1??2??f2?? y?y?z??y?x?y242、（8分）设二元函数f(x,y)?e解： fx?(0,0)?limex?，求fx?(0,0),fy(0,0).

f(x,0)?f(0,0)xe?1x?xxx?0?limex?1xx?0

x?0lim??1x?lim?x?0?1

x?0lim?ex?1x?lim?x?0e?1x??1

所以fx?(0,0)不存在；

f(0,y)?f(0,0)yey2fy?(0,0)?limy?0?lim?1yy?0?0

所以fy?(0,0)?0 三、计算下列二重积分

1、（8分）计算二重积分I?D:0?x?1,0?y?. 1??eDmaxx,y?22?dxdy，其中

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解：记D1??(x,y)0?x?1,0?y?x?

D2??(x,y)0?x?1,x?y?1?

I???eD1max{xy}22dxdy???eD22max{xy}22dxdy

???edxdy?D1x2??edxdy

D2y??10dx?edy?0xx2?10dy?edx?e?1

0yy22、（8分）求I?解：交换积分次序

I??1010xdy?edx

y12?10dy?edx?y1x2?dx?edy?0xx2?10xedx?x212ex21?012(e?1)

四、（10分）求

??2xzdydz?y(z?1)dzdx?(9?z)dxdy

?22322其中?是曲面z?x?y?1?1?z?2?的下侧.

z?2??:解：补充1?2取上侧 2x?y?1??原式=????????1????1?223?2xzdydz?y(z?1)dzdx?(9?z)dxdy ??????dv????Dxydxdy??21?(z?1)dz?????2

五、（8分）判断下列常数项级数是收敛的，还是发散的，若是收敛，判断是条件收敛还是绝对收敛.并说明判断的理由.

? (1) 解：

?(?1)n?1n?1nn?1?n?1 (2)?(?1)n?12n!nnn

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六、（8分）将函数f(x)?数.

解

1x+3x+21-3+(x+4)121x+4221x?3x?22展开成(x?4)的幂级

：

=1(x+1)(x+2)1-2+(x+4)1311-x+43x+42<1且-1

=1x+1-1x+2=-

￥=?1- =?n=0(12n+1-13n+1n)(x+4)

其收敛域满足 -1<化成 -6

1x+3x+22￥=?n=0(12n+1-13n+1n)(x+4) （-6

七、（8分）已知fn(x)满足

fn￠(x)=fn(x)+xn-1e,(n Nx+)

且fn(1)=en￥，求函数项级数?n=1fn(x)的和函数.

解：解方程fn￠(x)=fn(x)+xn-1ex，得

fn(x)=e(xxnn+C)

令fn(1)=en，于是有C=0，所以fn(x)=exxnn.

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ゥ邋fn=1n(x)=n=1exxn n= n=1exxòtn-1dt=-eln(1-x)

x0(-1?x八、（10分）求函数

1)

f(x,y)=x+2y-xy2222

在区域D={(x,y)x2+y2３4,y0}上的最大值和最小值.

22=2x-2xy=0,fy=4y-2xy=0，得 解：令fxⅱ开区域内可能的极值点为(±2,1)

当y=0时，f(x,y)=x2在-2＃x为0；

最小值2上的最大值为4，

当x2+y2=4时，y>0,-2

F(x,y,l)=x+2y-xy+l(x+y-4)

222222ì?Fx=0;??解方程组?íFy=0;得到可能的极值点为(0,2),(±??F=0;???l52,32)，

其对应的函数值为f(0,2)=8,f(?值得

f(x,y)=x+2y-xy222252,32)74，比较上述函数

在区和最小值0.

域

D={(x,y)x+y３4,y220}上的最大值为8

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