自选课题：函数与方程的思想
一、教学设计 1．教学内容解析
（1）对函数与方程思想的内涵界定：
函数思想就是利用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，再利用函数的性质和图象去分析问题、转化问题，从而使问题获解．方程思想就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程（组）问题，然后通过解方程（组）或者通过方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获解．
函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的融合，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想．
函数与方程的思想和方法几乎渗透到了中学数学中的各个领域，广泛的运用于解题之中，也是高考数学对通性通法考核目标要求中的核心思想．
（2）对函数与方程思想的教情分析：
对于函数与方程思想的教学，在高一和高二新课的教学中，通常已经在蕴含有函数与方程的思想的相关教学内容中得到了逐步渗透．
在高三的教学中，应在原来渗透的基础上，对函数与方程的思想进行进一步的挖掘、提炼、总结和提升，提高学生对数学本质的认识，让函数与方程的思想方法成为学生解决问题的有效策略和锐利武器．
数学思想方法的教学要切合学生的认知水平，不能盲目的拔高，把其强调到不适当的高度．关键是加强对思想方法教学的重视，引导学生对思想方法的掌握和运用，只有学生通过自己的参与，才能逐步地从感性发展成理性、从潜意识上升到有意识．正如波利亚所说：“思想应该在学生头脑中产生出来”．
根据以上分析，本节课的教学重点确定为：
教学重点：从以往解题过程中提炼函数与方程思想的内涵，领悟如何从题目中挖掘运用函数与方程思想解题的关键信息，以及运用函数与方程的思想解题的应用价值．
2．学生学情分析
高三学生在完成第一轮对知识的梳理与整合复习后，对函数与方程的知识结构有了相对整体的认识，而对于函数与方程的思想及其应用虽有所认识，但不系统，更不能做到深刻理解和灵活应用．
在大量的习题训练之中，尽管学生常常会潜意识地运用函数与方程的思想去思考问题，但往往只是停留在支离破碎的感性认识和机械操作的简单模仿上，知其然而不知其所以然．
数学思想是数学知识的精髓，是数学思维的内核，是知识转化为能力的催化剂．在学生对函数与方程思想的普适性认识比较模糊，尚未形成运用函数与方程的思想解决问题的有效思维流程的前提下，更要通过思想方法的教学，让学生学会多想少算，领悟函数与方程的思
想方法体现出的融合、统领、层次的特点．正如F.克莱因（F.klein）所言：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”．
根据以上分析，本节课的教学难点确定为：
教学难点：怎样想到运用函数与方程思想解题，以及运用思想解题的关键信息的挖掘． 3．教学目标设置
（1）通过领略“开普勒三大定律”的发现过程，学生感悟函数与方程的思想的应用价值； （2）通过剖析典例的解题过程，引导学生提炼函数与方程思想的内涵；
（3）通过反思练案的解题过程，学生体会何时想到和怎样运用函数与方程的思想解题； （4）通过回顾以往解题的心路历程，学生归纳总结运用函数与方程思想解题的要领； （5）通过总结本课的学习成果，引导学生升华对函数与方程思想的普适性的认识； （6）通过布置回归梳理，学生进一步加深对函数与方程思想的自觉性． 4．教学策略分析
本节课尝试采用“六回合”教学法，其六个教学环节的流程如下：
主要是通过研究性学习方式展开教学，即通过引导学生对以前学过的知识和做过的习题进行再认识，挖掘解题过程、提炼思想内涵、分享活动经验、总结方法要领，将函数与方程的思想方法有效地凸现出来．
数学思想方法的复习课的教学容量大，要求学生参与度高，需采用实物投影仪、多媒体课件辅助教学．
二、课堂实录
第一环节：回眸历史，感悟思想
画外音：著名的天文学家第谷毕生致力于对行星运动的观测，记录了近750个不同行星运动的数据，临终时深感宇宙浩瀚，人生短促，带着遗憾而去.他的学生开普勒继续进行研究，在第谷留下的数据中发现了宇宙的规律，得到了著名的“开普勒三大定律”. 第谷穷尽毕生精力，得到的只是一堆数据，开普勒仅仅四年的潜心研究，揭开的却是整个宇宙的奥秘.
师：我们来看开普勒发现三大定律的基本过程：
开普勒借助函数与方程的思想，透过纷繁数据发现宇宙规律，开创性地提出了三大定律.可见，数学思想方法是解决问题的锐利武器.事实上，这种思想方法早已渗透于我们平时的学习中，今天我们将进一步研究这一重要的数学思想方法.
评析：利用开普勒发现三大定律的过程，引出函数与方程的思想，从而让学生联想到自
己的解题经历，唤起同学们对这种数学思想的感性认识.
第二环节：回溯解法，提炼思想
师：数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中．下面我们从大家的解题过程中来探寻函数与方程思想的内涵．
问题：已知实数a,b分别满足a3?3a2?5a?1和b3?3b2?5b?5，求a?b的值． 这里采集了两位同学的解法如下： 下面首先请钟明亮同学谈谈解法1：
3??(a?1)?2(a?1)?2?0,生：我首先想到的是转化两个已知等式的结构，即得到? 再由此3(1?b)?2(1?b)?2?0,??想到构造一个方程x3?2x?2?0. 而由a?1和1?b都是这个方程的根，得到a?1?1?b，即a?b?2.
师：这种转化很巧！巧在把两个看似不同的式子转化为了同一个方程，那么他接下来的解答是否正确呢？
生：不对，三次方程的根不一定都相等.
师：那怎样才能说明这个三次方程只有唯一实根呢？ 生：那就要看函数f(x)?x3?2x?2是不是单调函数.
师：很好，可见解法1的关键就是两个构造，即构造方程和构造函数，在这里我们既看到了方程思想的作用，又看到了函数思想的价值.下面请李美璇为我们谈谈解法2：
3??(a?1)?2(a?1)??2,生：我也是同解法1得到? 然后想到构造函数f(x)?x3?2x. 因为3??(b?1)?2(b?1)?2,其右边的函数值互为相反数，而该函数是奇函数，所以就有f(a?1)?f(1?b)，再根据该函数是单调递增函数，从而得到了a?b?2.
师：说得非常好！如果说解法1的关键是两个构造，那么解法2的关键又是什么呢？ 生：就是直接构造函数f(x)?x3?2x，并运用函数的性质解决问题. 师：从以上两种思路我们可以归纳出：
评析：通过引导学生回顾解题过程，让学生感悟函数与方程思想的内涵，将学生对数学思想的感性认识逐步上升为理性认识.
第三环节：回味总结，体验思想
师：数学思想方法的掌握和运用能力直接影响着我们对数学本质的认识．下面请同学们以学案中已经解答的一组问题为对象，采取分组讨论的方式，思考并回答下面三个问题：
问题1：找出解题过程中哪些地方用到了函数与方程的思想？
问题2：题中哪些关键信息会诱发我们会想到利用函数与方程的思想解题？ 问题3：运用函数与方程的思想解决问题的基本套路是什么？
（学生分组讨论.）
师：我们的讨论就到这里，下面请各组代表交流你们对上面三个问题的看法. （学生代表分别交流从解题过程中挖掘出的有关上述三个问题的各种想法.）
师：经过上述交流，我们体会到在涉及到最值问题、范围问题、参数问题等很多数学情境中，都可运用函数与方程的思想来帮我们解决问题，而问题呈现的显性或隐性的数量关系、变量关系、等与不等关系等则是促使我们想到运用函数与方程思想破题的诱因，同时可以看出，运用函数与方程的思想解决问题的基本套路：分析数量关系——联系函数方程——建立相关模型——解决给定问题.
评析：引导学生反思从前的解题过程，进一步的体会函数与方程的思想在解题中的运用，感受数学思想的好处.
第四环节：回顾经验，分享思想.
师：数学思想方法是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和根本思想．下面请同学们进一步回顾以往的解题经历，分享运用函数与方程的思想解决问题的经验和困惑．
请大家分组讨论，然后我们分享交流.（学生讨论.） 师：我们的讨论暂时到这里，下面请大家自由交流. 生1：已知an是关于x的方程xn?xn?1?xn?2??x?1?0(x?0,n?N且n?2). 求证：
1?1?1（1）?an?1?an?1；（2）an???+.
2?2?2此题我首先是想求出数列{an}的通项公式，但是根据题目的条件，求通项比较困难. 进而关注到条件：“an是方程x?xnn?1n?xn?2?n?x?1?0的根”，而该方程难以求解，于是
n?1就想到把这个方程转化为函数：f(x)?x?x就很容易的比较an,an?1和程相互转化的思想.
?xn?2??x?1来研究，根据其单调性，
1以及1的大小，这个问题就迎刃而解了.这里用到的是函数与方2师：通过联系方程构造函数，解决了数列与不等式的问题，也体现了划归与转化的思想. 生2：我找到的是一个物理学里面的例子：
一个质量为m滑块在一个水平的地面上水平滑动，摩擦因素是3，用恒力F去拉这个3滑块，恒力F和水平面的夹角为?，问?多大的时候，滑块可以获得最大的加速度？