培优点十七 圆锥曲线的几何性质

1．椭圆的几何性质

x2y2例1：如图，椭圆2+2?1?a?b?0?的上顶点、左顶点、左焦点分别为B、A、F，中

ab心为O，其离心率为3，则S△ABF:S△BFO?（ ） 2

A．2?3:3 【答案】B

【解析】由S△ABF?S△ABO?S△BFO，得S△ABF:S△BFO??S△ABO?S△BFO?:S△BFO??ab?bc?:bc 而

2．抛物线的几何性质

例2：已知抛物线C:y2?2px?p?0?的焦点为F，准线l:x??1，点M在抛物线C上，点M在直线l:x??1上的射影为A，且直线AF的斜率为?3，则△MAF的面积为（ ） A．3 【答案】C 【解析】

B．23 C．43 D．83 c3，所以S△ABF:S△BFO?23?3:3，故选B． ?a2??B．23?3:3

??C．2?3:2

??D．23?3:2

????

设准线l与x轴交于点N，所以FN?2，因为直线AF的斜率为?3，所以?AFN?60?，

所以AF?4，

由抛物线定义知，MA?MF，且?MAF??AFN?60?，所以△MAF是以4为边长的正三角形，其面积为

3．双曲线的几何性质

32?4?43．故选C． 4x2y22例3：已知点P是双曲线??1的右支上一点，M，N分别是圆?x?10??y2?4和

3664?x?10?2?y2?1上的点，则PM?PN的最大值为_________．

【答案】15

x2y2【解析】在双曲线??1中，a?6，b?8，c?10，

3664?F1??10,0?，F2?10,0?，PF1?PF2?2a?12，

QMP?PF1?MF1，PN?PF2?NF2，?PM?PN?PF1?MF1?PF2?NF2?15．

对点增分集训

一、单选题

1．抛物线y2?2px?p?0?上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则p?（ ） 1A．

2B．1 C．2 D．4

【答案】C

【解析】抛物线y2?2px?p?0?上的动点Q到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值， 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：

2p?1，?p?2．本题选择C选项． 2y22．设点F1，F2是双曲线x??1的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3PF1?4PF2，

3则△PF1F2的面积等于（ ） A．53 B．315

C．45 D．210 【答案】B

【解析】据题意，PF1?4PF2，且PF1?PF2?2，解得PF1?8，PF2?6． 3PF1?PF2?F1F22PF1PF2222又F1F2?4，在△PF1F2中由余弦定理，得cos?F1PF2?从而sin?F1PF2?1?cos2?F1PF2??7． 815115，所以S△PF1F2??6?8??315，故选B． 8283．经过椭圆x2?2y2?2的一个焦点作倾斜角为45?的直线l，交椭圆于M，N两点，设OuuuuruuurOM?ON为坐标原点，则等于（ ）

A．?3 【答案】C

x2【解析】椭圆方程为?y2?1，a?2，b?1，c?1，取一个焦点F?1,0?，则直线方程

21B．?

31C．?

31D．?

2为y?x?1，

uuuuruuur1?41?代入椭圆方程得3x2?4x?0，M?0,?1?，N?,?，所以OM?ON??，故选C．

3?33?4．过抛物线y2?mx?m?0?的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标5为3，PQ?m，则m?（ ）

4A．4 【答案】B

B．6 C．8 D．10

【解析】设PQ的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，线段PQ中点的横坐标为3，则PQ?x1?x2?p?6?m5?m，由此解得m?6．故选B． 44x1?x2?3，2x2y25．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是

ab边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ） x2A．?y2?1

3x2y2C．??1

412

y2B．x??1

32x2y2D．??1

124【答案】B

x2y2【解析】双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAFab是边长为2的

b2c2?a2b?3，解得a?1，b?3，等边三角形（O为原点），可得c?2，?3，即2?3，

aaa2y2双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线的方程为x??1，故选B．

326．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道

Ⅲ绕月飞行．已知椭圆轨道I和Ⅱ的中心与F在同一直线上，设椭圆轨道I和Ⅱ的长半轴长

分别为a1，a2，半焦距分别为c1，c2，则有（ ）

A．

c1c2 ?a1a2B．a1?c1?a2?c2

ccC．1?2

a1a2D．a1?c1?a2?c2

【答案】C

【解析】设圆形轨道Ⅲ的半径为R，a1?c1?a2?c2?R，c2a2?RR??1?， a2a2a2c1a1?RR??1?，a1a1a1由a1?a2知

c1c2，故选C． ?a1a2x2y2x227．已知双曲线C1:?y?1，双曲线C2:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1，F2，

4abM是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM?MF2，O为坐标原点，若S△OMF2?16，且双

曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是（ ） A．32

B．4

C．8

D．16