2019届高考数学专题十七圆锥曲线的几何性质精准培优专练理 下载本文

培优点十七 圆锥曲线的几何性质

1.椭圆的几何性质

x2y2例1:如图,椭圆2+2?1?a?b?0?的上顶点、左顶点、左焦点分别为B、A、F,中

ab心为O,其离心率为3,则S△ABF:S△BFO?( ) 2

A.2?3:3 【答案】B

【解析】由S△ABF?S△ABO?S△BFO,得S△ABF:S△BFO??S△ABO?S△BFO?:S△BFO??ab?bc?:bc 而

2.抛物线的几何性质

例2:已知抛物线C:y2?2px?p?0?的焦点为F,准线l:x??1,点M在抛物线C上,点M在直线l:x??1上的射影为A,且直线AF的斜率为?3,则△MAF的面积为( ) A.3 【答案】C 【解析】

B.23 C.43 D.83 c3,所以S△ABF:S△BFO?23?3:3,故选B. ?a2??B.23?3:3

??C.2?3:2

??D.23?3:2

????

设准线l与x轴交于点N,所以FN?2,因为直线AF的斜率为?3,所以?AFN?60?,

所以AF?4,

由抛物线定义知,MA?MF,且?MAF??AFN?60?,所以△MAF是以4为边长的正三角形,其面积为

3.双曲线的几何性质

32?4?43.故选C. 4x2y22例3:已知点P是双曲线??1的右支上一点,M,N分别是圆?x?10??y2?4和

3664?x?10?2?y2?1上的点,则PM?PN的最大值为_________.

【答案】15

x2y2【解析】在双曲线??1中,a?6,b?8,c?10,

3664?F1??10,0?,F2?10,0?,PF1?PF2?2a?12,

QMP?PF1?MF1,PN?PF2?NF2,?PM?PN?PF1?MF1?PF2?NF2?15.

对点增分集训

一、单选题

1.抛物线y2?2px?p?0?上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1,则p?( ) 1A.

2B.1 C.2 D.4

【答案】C

【解析】抛物线y2?2px?p?0?上的动点Q到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值, 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点,据此可知:

2p?1,?p?2.本题选择C选项. 2y22.设点F1,F2是双曲线x??1的两个焦点,点P是双曲线上一点,若3PF1?4PF2,

3则△PF1F2的面积等于( ) A.53 B.315

C.45 D.210 【答案】B

【解析】据题意,PF1?4PF2,且PF1?PF2?2,解得PF1?8,PF2?6. 3PF1?PF2?F1F22PF1PF2222又F1F2?4,在△PF1F2中由余弦定理,得cos?F1PF2?从而sin?F1PF2?1?cos2?F1PF2??7. 815115,所以S△PF1F2??6?8??315,故选B. 8283.经过椭圆x2?2y2?2的一个焦点作倾斜角为45?的直线l,交椭圆于M,N两点,设OuuuuruuurOM?ON为坐标原点,则等于( )

A.?3 【答案】C

x2【解析】椭圆方程为?y2?1,a?2,b?1,c?1,取一个焦点F?1,0?,则直线方程

21B.?

31C.?

31D.?

2为y?x?1,

uuuuruuur1?41?代入椭圆方程得3x2?4x?0,M?0,?1?,N?,?,所以OM?ON??,故选C.

3?33?4.过抛物线y2?mx?m?0?的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标5为3,PQ?m,则m?( )

4A.4 【答案】B

B.6 C.8 D.10

【解析】设PQ的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?,线段PQ中点的横坐标为3,则PQ?x1?x2?p?6?m5?m,由此解得m?6.故选B. 44x1?x2?3,2x2y25.已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是

ab边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( ) x2A.?y2?1

3x2y2C.??1

412

y2B.x??1

32x2y2D.??1

124【答案】B

x2y2【解析】双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAFab是边长为2的

b2c2?a2b?3,解得a?1,b?3,等边三角形(O为原点),可得c?2,?3,即2?3,

aaa2y2双曲线的焦点坐标在x轴,所得双曲线的方程为x??1,故选B.

326.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道

Ⅲ绕月飞行.已知椭圆轨道I和Ⅱ的中心与F在同一直线上,设椭圆轨道I和Ⅱ的长半轴长

分别为a1,a2,半焦距分别为c1,c2,则有( )

A.

c1c2 ?a1a2B.a1?c1?a2?c2

ccC.1?2

a1a2D.a1?c1?a2?c2

【答案】C

【解析】设圆形轨道Ⅲ的半径为R,a1?c1?a2?c2?R,c2a2?RR??1?, a2a2a2c1a1?RR??1?,a1a1a1由a1?a2知

c1c2,故选C. ?a1a2x2y2x227.已知双曲线C1:?y?1,双曲线C2:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1,F2,

4abM是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OM?MF2,O为坐标原点,若S△OMF2?16,且双

曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长是( ) A.32

B.4

C.8

D.16