1
所以G是PB的中点，且GH＝BC＝4.
2
由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，
GH＋EF4＋8
所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.
2216．解：(1)证明：在三棱柱ABC - A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
所以BB1⊥AB. 又因为AB⊥BC，
所以AB⊥平面B1BCC1.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.
因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点， 11
所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1.
22因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1， 所以四边形FGEC1为平行四边形， 所以C1F∥EG.
又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE， 所以C1F∥平面ABE.
(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以AB＝AC2－BC2＝3. 所以三棱锥E - ABC的体积
1113V＝S△ABC·AA1＝××3×1×2＝. 332317．证明：(1)连接AD1，由ABCD - A1B1C1D1是正方体，
知AD1∥BC1.
因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1. 从而BC1∥FP.
而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ， 故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC⊥BD. 由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1. 而AC1?平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.
因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1. 同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN. 18．证明： (1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA?平面DEF，DE?平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE11＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因为DF＝5，所以DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.22又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC.
又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
19．解：(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点． 又E为PD的中点，所以EO∥PB. EO?平面AEC，PB?平面AEC， 所以PB∥平面AEC.
113
(2)V＝××PA×AB×AD＝AB，
326由V＝
33，可得AB＝. 42
作AH⊥PB交PB于点H.
由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH， 因为PB∩BC＝B，所以AH⊥平面PBC. PA·AB313
又AH＝＝，
PB13
313
所以点A到平面PBC的距离为.
13
20．证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC.由于E为AD的中点，
1
AB＝BC＝AD，AD∥BC，
2所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，
所以O为AC的中点．
又在△PAC中，F为PC的中点，所以AP∥OF. 又OF?平面BEF，AP?平面BEF， 所以AP∥平面BEF.
(2)由题意知，ED∥BC，ED＝BC， 所以四边形BCDE为平行四边形， 所以BE∥CD.
又AP⊥平面PCD，
所以AP⊥CD，所以AP⊥BE. 因为四边形ABCE为菱形， 所以BE⊥AC.
又AP∩AC＝A，AP，AC?平面PAC， 所以BE⊥平面PAC.
21．解：(1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.
因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线， 所以AA1⊥平面ABC.
因为直线BC?平面ABC，所以AA1⊥BC.
又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内的两条相交直线， 所以BC⊥平面ACC1A1.
(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．
图1-4 由已知，O为AC1的中点．
连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
11
所以MD綊AC，OE綊AC，
22
因此MD綊OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，所以DE∥MO. 因为直线DE?平面A1MC，MO?平面A1MC. 所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.
22．解：(1)证明：如图所示，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，所以
1
MF∥BC，且MF＝BC.由已知有BC∥AD，BC＝AD，又由于E为AD中点，因而MF∥AE
2
且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.又AM?平面PAB，而EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.
(2)(i)证明：连接PE，BE.因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，所以PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P - AD -B的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝5，AD＝2，可解得PE＝2.在△ABD中，由BA＝BD＝2，AD＝2，可解得BE＝1.在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60?，由余弦定理，可解得PB＝3，从而∠PBE＝90?，即BE⊥PB.又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC.又BE?平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD.
(ii)连接BF，由(i)知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由
131111PB＝3及已知，得∠ABP为直角，而MB＝PB＝，可得AM＝，故EF＝.又BE
2222BE211
＝1，故在直角三角形EBF中，sin∠EFB＝＝.所以直线EF与平面PBC所成角的正
EF11
211弦值为. 11
23．解：(1)证明：在三棱柱ABC - A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
所以BB1⊥AB. 又因为AB⊥BC，
所以AB⊥平面B1BCC1.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.
因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点， 11
所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1.
22因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1， 所以四边形FGEC1为平行四边形， 所以C1F∥EG.
又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE， 所以C1F∥平面ABE.
(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以AB＝AC2－BC2＝3. 所以三棱锥E - ABC的体积
1113V＝S△ABC·AA1＝××3×1×2＝. 3323
24．解：方法一：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD， ∴AB⊥CD.
又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，
AB?平面ABD，BD?平面ABD， ∴CD⊥平面ABD.
(2)由AB⊥平面BCD，