HENFGDOABMC
因为M、N分别是BC、GH的中点， 所以OM//CD，且OM?1CD， 2NH//CD，且NH?1CD， 2所以OM//NH,OM?NH， 所以MNHO是平行四边形， 从而MN//OH，
又MN?平面BDH，OH?平面BDH， 所以MN//平面BDH.
（3）连结AC，过M作MP?AC于P.
HENKFGDOAPMBC
在正方形ABCD?EFGH中，AC//EG， 所以MP?EG.
过P作PK?EG于K，连结KM， 所以EG?平面PKM， 从而KM?EG.
所以?PKM是二面角A?EG?M的平面角.
设AD?2，则CM?1,PK?2， 在Rt?CMP中，PM?CMsin45??2. 232. 2在Rt?KMP中，KM?PK2?PM2?所以cos?PKM?PK22?. KM322. 3即二面角A?EG?M的余弦值为10【解析】（解法1）（Ⅰ）因为PD?底面ABCD，所以PD?BC， 由底面ABCD为长方形，有BC?CD，而PD?CD?D， 所以BC?平面PCD. 而DE?平面PCD，所以BC?DE. 又因为PD?CD，点E是PC的中点，所以DE?PC.
而PC?BC?C，所以DE?平面PBC. 而PB?平面PBC，所以PB?DE. 又PB?EF，DE?EF?E，所以PB?平面DEF.
由DE?平面PBC，PB?平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为?DEB，?DEF，?EFB，?DFB. （Ⅱ）如图1，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD 的交线. 由（Ⅰ）知，PB?平面DEF，所以PB?DG.
又因为PD?底面ABCD，所以PD?DG. 而PD?PB?P，所以DG?平面PBD. 故?BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角， 设PD?DC?1，BC??，有BD?1??2， 在Rt△PDB中, 由DF?PB, 得?DPF??FDB?则 tan所以
π, 3πBD?tan?DPF??1??2?3, 解得??2. 3PDDC12??. BC?2πDC2时，. ?3BC2故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
11【答案】证明:(1)∵AS?AB,AF?SB∴F分别是SB的中点
∵E.F分别是SA.SB的中点 ∴EF∥AB
又∵EF?平面ABC, AB?平面ABC ∴EF∥平面ABC 同理:FG∥平面ABC
又∵EF?FG=F, EF.FG?平面ABC∴平面EFG//平面ABC
(2)∵平面SAB?平面SBC 平面SAB?平面SBC=BC AF?平面SAB
AF⊥SB
∴AF⊥平面SBC 又∵BC?平面SBC ∴AF⊥BC
又∵AB?BC, AB?AF=A, AB.AF?平面SAB ∴BC⊥平面SAB又∵SA?平面SAB∴BC⊥SA
12．解： (1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK， 所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD. 又EF?平面ABCD，所以GK⊥EF， 所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
11
从而KB＝DB＝OB，即K是OB的中点．
421
再由PO∥GK得GK＝PO，
2
1
所以G是PB的中点，且GH＝BC＝4.
2
由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，
GH＋EF4＋8
所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.
22
13．解： (1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH
＝GH，所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK， 所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD. 又EF?平面ABCD，所以GK⊥EF， 所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
11
从而KB＝DB＝OB，即K是OB的中点．
42
1
再由PO∥GK得GK＝PO，
2
1
所以G是PB的中点，且GH＝BC＝4.
2
由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，
GH＋EF4＋8
所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.
22
14．解：(1)证明：如图，因为DO⊥α，AB?α，所以DO⊥AB.
连接BD，由题设知，△ABD 是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.
(2)因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角．
由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α-MN-β的
平面角，从而∠DEO＝60°.
不妨设AB＝2，则AD＝2，易知DE＝3.
3
在Rt△DOE中，DO＝DE·sin 60°＝.
2
DO
连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝＝
AD
323＝. 24
3
故异面直线BC与OD所成角的余弦值为. 4
15．解： (1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK， 所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD. 又EF?平面ABCD，所以GK⊥EF， 所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
11
从而KB＝DB＝OB，即K是OB的中点．
421
再由PO∥GK得GK＝PO，
2