∵AB=∴
,=,∴是正三角形,
=E,∴AB⊥面
,
⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵
∴AB⊥
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,又∵面ABC⊥面∴EA,EC,
⊥AB, ,面ABC∩面
;
=AB,∴EC⊥面
的方向为
,∴EC⊥轴正方向,|
, |为单位
两两相互垂直,以E为坐标原点,
,
长度,建立如图所示空间直角坐标系有题设知A(1,0,0),
=(-1,0,设
=
),是平面
(0,=(0,-,0),C(0,0,
,
),B(-1,0,0),则=(1,0,),=
),
的法向量,
则,即,可取=(,1,-1),
∴=,
∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为
6【答案】解:(Ⅰ) ?A1O?面ABCD,且BD?面ABCD,?A1O?BD;又因为,在正
中
,
方形AB CD
AC?BD；且A1O?AC?A,所以BD?面A1AC且A1C?面A1AC，故A1C?BD.
在正方形AB CD中,AO = 1 . 在RT?A1OA中，A1O?1.
设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，所以A1C?E1O.
又BD?面BB1D1D,E1O?面BB1D1D，.且BD?E1O?O，所以由以上三点得A1C?面BB1D1D.(证毕)
(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.
以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.则
B（0,1,0）,C(1，0，0),A1(0，0，1),B1(1,1,1)?A1C?(1,0,?1).
由(Ⅰ)知, 平面BB1D1D的一个法向量n1?A1C?(1,0,?1),OB1?(1,1,1),OC?（1,0,0）. 设
平
面
OCB1的法向量为
A1D1B1C1 n2,则n2?OB1?0,n2?OC?0，解得其中一个法向量为n2?(0,1,-1).cos??|cos?n1,n1?|?|n1?n2||n1|?|n2|?12?2?1. 2ADOBC所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角?为7.
? 3
8【答案】解:
(I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1 ⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC. (II)由(I)知AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A
为原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
??????3y?4z?0?n?A1B?0设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则?????,即, ??4x?0???n?A1C1?0令z?3,则x?0,y?4,所以n=(0,4,3).
同理可得,平面BB1C1的法向量为m=(3,4,0),所以cosn,m?n?m16. 由题?|n||m|25知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为
?????????(III)设D(x,y,z)是直线BC1上一点,且BD??BC1. 所以(x,y?3,z)??(4,?3,4).
解得x?4?,y?3?3?,z?4?.
16. 25????所以AD?(4?,3?3?,4?).
????????9由AD·A1B?0,即9?25??0.解得??.
25因为
9?[0,1],所以在线段BC1上存在点D, 25使得AD⊥A1B. 此时,
BD9. ???BC125 图1-1
9．解：(1)证明：连接BD，在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝2，由AC＝2，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE.
(2)在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝2，DC＝2，得BD⊥BC. 又平面ABC⊥平面BCDE，所以BD⊥平面ABC.
作EF∥BD，与CB的延长线交于点F，连接AF，则EF⊥平面ABC. 所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角．
π22
在Rt△BEF中，由EB＝1，∠EBF＝，得EF＝，BF＝；
422
32
在Rt△ACF中，由AC＝2，CF＝，
2得AF＝
26. 2
226，AF＝， 22
在Rt△AEF中，由EF＝得tan∠EAF＝
13. 13
所以，直线AE与平面ABC所成的角的正切值是13. 13
10【答案】(1) 略，（2）?45，（3）a?
3511【答案】（1）
325（2） 356. 312【答案】（Ⅰ）EF//B1C；（Ⅱ）13【答案】(Ⅰ) 略；(Ⅱ)
2． 314.【答案】（I）略；（II）6． 315.【答案】(I) 略； (II)
310； (III) 103. 645． 157?2.
16【答案】（1）略；（2）17【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）
[测试1答案]
1-6ABAACA
7. 18+9? 8. 1 9.90o. 10. Vmax?2c3a2?c2?1
11. 方法一:（1）以AD,AC,AP为x,y,z正半轴方向，建立空间直角左边系A?xyz
则D(2,0,0),C(0,1,0),B(?????????????11,,0),P(0,0,2) 22????????????????PC?(0,1,?2),AD?(2,0,0)?PC?AD?0?PC?AD
?????????PCD（2）PC?(0,1,?2),CD?(2,?1,0)，设平面的法向量n?(x,y,z)