1
因为<1
e所以函数h(x)在(0,x0)上恰有一个零点;(13分) 11111
(ii) 由于h(-)=-e--+ln(-),令t=->e,
aaaaa设F(t)=-e+t+ln t,t>e,
1t
由于t>e时,ln t
a11
由①式,得当x0>1时,-=x0ex0>x0,且h(-)·h(x0)<0,
aa同理可得函数h(x)在(x0,+∞)上也恰有一个零点. 1
综上,a∈(-,0).(16分)
e
t
2019届高三模拟考试试卷(南师附中) 数学附加题参考答案及评分标准
21. A. 解:(1) 由题意,由矩阵的逆矩阵公式得B=A=?
-1
?1 1?0-1
?
?.(5分) ?
(2) 矩阵B的特征多项式f(λ)=(λ+1)(λ-1),(7分) 令f(λ)=0,解得λ=1或-1,(9分) 所以矩阵B的特征值为1或-1.(10分)
22222
B. 解:将圆ρ=2asin θ化成普通方程为x+y=2ay,整理得x+(y-a)=a.(3分) π
将直线ρcos(θ+)=1化成普通方程为x-y-2=0.(6分)
4|a+2|
因为相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即=a,(9分)
2解得a=2+2.(10分)
C. 解:因为(1-x+3x+2)=(3-3x·120
≤(3-3x+3x+2)(+1)=,(3分)
33215
所以y=1-x+3x+2≤.(5分)
3
3-3x3x+272
当且仅当=,即x=∈[-,1]时等号成立.(8分)
111233
215
所以y的最大值为.(10分)
3
22. 解:(1) 因为PA⊥平面ABCD,且AB,AD平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD.
因为∠BAD=90°,所以PA,AB,AD两两互相垂直.
分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则由AD=2AB=2BC=4,PA=4,可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).
因为点M为PC的中点,所以M(1,1,2).
→→
所以BM=(-1,1,2),AP=(0,0,4),(2分)
→→AP·BM0×(-1)+0×1+4×26→→
所以cos〈AP,BM〉===,(4分)
→→34×6|AP||BM|所以异面直线AP,BM所成角的余弦值为
6
.(5分) 3
2
12+3x+2·1) 3
→
(2) 因为AN=λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),则MN=(-1,λ-1,-2),
→→
BC=(0,2,0),PB=(2,0,-4).
→??m·BC=0,??2y=0,
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则?即?
?→2x-4z=0.???m·PD=0,
令x=2,解得y=0,z=1,所以m=(2,0,1)是平面PBC的一个法向量.(7分) 4
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,
5
→
|MN·m||-2-2|4→
所以|cos〈MN,m〉|===,解得λ=1∈[0,4], 2
→55+(λ-1)·5|MN||m|所以λ的值为1.(10分)
23. 解:(1) L(1)=2,(1分) L(2)=6,(2分) L(3)=20.(3分)
(2) 设m为沿x轴正方向走的步数(每一步长度为1),则反方向也需要走m步才能回到ynnn
轴上,所以m=0,1,2,……,[](其中[]为不超过的最大整数),
222
总共走n步,首先任选m步沿x轴正方向走,再在剩下的n-m步中选m步沿x轴负方向
mmn-2m
走,最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下),即Cn·Cn-m·2,