江苏省南京师大附中2019届高三数学5月最后一卷试题
(满分160分，考试时间120分钟)
2019．5
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{x||x|≤1，x∈Z}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝________．
2. 已知复数z＝(1＋2i)(a＋i)，其中i是虚数单位．若z的实部与虚部相等，则实数a的值为________．
3. 某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是________．
4. 3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是________．
5. 函数f(x)＝x＋log2(1－x)的定义域为________． 6. 如图是一个算法流程图，则输出k的值为________．
(第6题)
(第7题)
7. 若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，点P为侧棱AA1上任意一点，则四棱锥PBCC1B1
的体积为________．
3
8. 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x－10x＋3上，且在第四象限内．已知曲线C在点P处的切线方程为y＝2x＋b，则实数b的值为________．
9. 已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)(0<φ<π)是定义在R上的奇函数，π
则f(－)的值为________．
8
12
10. 如果函数f(x)＝(m－2)x＋2(n－8)x＋1(m，n∈R且m≥2，n≥0)在区间[，2]上
2单调递减，那么mn的最大值为________．
xxy2
11. 已知椭圆＋y＝1与双曲线2－2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，其左、右焦点分别
2ab为F1，F2.若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且F1P＝F1F2，则双曲线的离心率为
2
2
2
________．
1
12. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，5)，点B是直线l：y＝x上位于第一
2象限内的一点．已知以AB为直径的圆被直线l所截得的弦长为25，则点B的坐标为________．
??an＋2，n＝2k－1，k∈N，
13. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2＝?则*
?2a，n＝2k，k∈N，n?
*
满足2 019≤Sm≤3 000的正整数m的所有取值为________．
→→
14. 已知等边三角形ABC的边长为2，AM＝2MB，点N，T分别为线段BC，CA上的动点，→→→→→→
则AB·NT＋BC·TM＋CA·MN取值的集合为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是
10
. 10
3π
(1) 求cos(α－)的值；
4
(2) 若以x轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为－5
，求α＋β的值． 5
16. (本小题满分14分)
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：
(1) AM∥平面BDE； (2) AM⊥平面BDF.
17. (本小题满分14分)
某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P，Q分别在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q.已知AB长为40米，设∠BOP为2θ.(上述图形均视作在同一平面内)
(1) 记四边形COPQ的周长为f(θ)，求f(θ)的表达式； (2) 要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin θ的值．
18. (本小题满分16分)
xy
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，
ab且点F1，F2与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知直线l与椭圆C相切于点P，且分别与直线x＝－4和直线x＝－1相交于点M，NF1
N.试判断是否为定值，并说明理由．
MF1
2
2