在每个σi上任取一点(ξi,ηi)，作和式

?f(?,?)??iii?1ni，称为函数f(x,y)在D上属于分割T的一个积分和.

定义2：设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数. J是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D的任何分割T，当它的细度T<δ时，属于T的所有积分和都有

?f(?,?)??iii?1ni?J<ε，则称f(x,y)在D上可积，数J称为函数f(x,y)在D

上的二重积分，记作：J=??f(x,y)d?.

D

注：1、函数f(x,y)在有界可求面积区域D上可积的必要条件是f在D上有界.

2、设函数f(x,y)在D上有界，T为D的一个分割，把D分成n个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn. 令Mi=supf(x,y), mi=inff(x,y), i=1,2,…,n.

(x,y)??(x,y)??ii作和式S(T)=?Mi??i, s(T)=?mi??i. 它们分别称为函数f(x,y)关于分

i?1i?1nn割T的上和与下和.

定理21.4：f(x,y)在D上可积的充要条件是：limS(T)=lims(T). T?0T?0

定理21.5：f(x,y)在D上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D的某个分割T，使得S(T)-s(T)<ε.

定理21.6：有界闭区域D上的连续函数必可积.

定理21.7：设f(x,y)在有界闭域D上有界，且不连续点集E是零面积集，则f(x,y)在D上可积.

证：对任意ε>0, 存在有限个矩形(不含边界)覆盖了E，而 这些矩形面积之和小于ε. 记这些矩形的并集为K，则 D\\K是有界闭域(也可能是有限多个不交的有界闭域的并集). 设K∩D的面积为△k，则△k<ε. 由于f(x,y)在D\\K上连续， 由定理21.6和定理21.5，存在D\\K上的分割T1={σ1, σ2,…, σn}, 使得S(T1)-s(T1)<ε. 令T={σ1, σ2,…, σn, K∩D}，则T是D的一个分割，且 S(T)-s(T)=S(T1)-s(T1)+ωK△k<ε+ωε, 其中

ωK是f(x,y)在K∩D上的振幅，ω的是f(x,y)在D上的振幅. 由定理21.5可知f(x,y)在D上可积.

三、二重积分的性质

1、若f(x,y)在区域D上可积，k为常数，则kf(x,y)在D上也可积，且

??kf(x,y)d?=k??f(x,y)d?.

DD

2、若f(x,y), g(x,y)在D上都可积，则f(x,y)±g(x,y)在D上也可积，且

???f(x,y)d??g(x,y)d??=??f(x,y)d?±??g(x,y)d?.

DDD

3、若f(x,y)在D1和D2上都可积，且D1与D2无公共内点，则

D1?D2??f(x,y)d?=??f(x,y)d?+??f(x,y)d?.

D1D2

4、若f(x,y)与g(x,y)在D上可积，且f(x,y)≤g(x,y), (x,y)∈D，则

??f(x,y)d?≤??g(x,y)d?.

DD

5、若f(x,y)在D上可积，则函数|f(x,y)|在D上也可积，且

??f(x,y)d?≤??Df(x,y)d?.

D

6、若f(x,y)在D上都可积，且m≤f(x,y)≤M, (x,y)∈D，则 mSD≤??f(x,y)d?≤MSD, 其中SD是积分区域D的面积.

D

7、(中值定理)若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则存在(ξ,η)∈D， 使得??f(x,y)d?=f(ξ,η)SD, 其中SD是积分区域D的面积.

D

注：中值定理的几何意义：以D为底，z=f(x,y) (f(x,y)≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于f(x,y)在区域D中某点(ξ,η)的函数值f(ξ,η).

习题

1、把重积分??xydxd?作为积分和的极限，计算这个积分值，其中

DD=[0,1]×[0,1]，并用直线网x=, y=, (i,j=1,2,…,n-1)

分割D为许多小正方形，每个小正方形取其右顶点作为其节点.

injnnij1n?1j1(n?1)21??2=lim???2=lim解：??xydxd?=lim=. ??2n??n??n??2nn44nj?1i?1nnnj?1Dnn

2、证明：若函数f(x,y)在有界闭区域D上可积，则f(x,y)在D上有界. 证：若f在D上可积，但在D上无界，则

对D的任一分割T={σ1, σ2,…, σn}, f必在某个小区域σk上无界. 当i≠k时，任取pi∈σi，令G=?f(pi)?i, I=??f(x,y)dxdy.

i?kDn∵f在σk上无界，∴存在pk∈σk，使得|f(pk)|>

I?1?G??kn, 从而

?f(p)?ii?1ni=?f(pi)?i?f(pk)??k≥|f(pk)·△σk|-?f(pi)?i>|I|+1.

i?ki?kn又f在D上可积，∴存在δ>0，对任一D的分割T={σ1, σ2,…, σn}, 当T<δ时，T的任一积分和?f(pk)?k都满足?f(pk)?k?I<1,

k?1nnk?1即?f(pk)?k<|I|+1，矛盾！∴f在D上可积，则f在D上有界.

k?1n

3、证明二重积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则存在(ξ,η)∈D，使得??f=f(ξ,η)SD, 其中SD是积分区域D的面积.

D证：∵f在有界闭区域D上连续,∴f在D上有最大值M和最小值m, 对D中一切点有m≤f≤M，∴mSD≤??f≤MSD, 即m≤

D1SD??f≤M.

D由介值性定理知，存在(ξ,η)∈D，使得??f=f(ξ,η)SD.

D

4、证明：若f(x,y)为有界闭区域D上的非负连续函数，且在D上不恒