第二十一章 重积分 1二重积分的概念
一、平面图形的面积
引例：若构成平面图形P的点集是平面上的有界点集， 即存在矩形R，使P?R，则称平面图形P有界. 用某一平行于坐标轴的一组直线网T分割P(如图)，这时 直线网T的网眼——小闭矩形△i可分为三类： (1)△i上的点都是P的内点；
(2)△i上的点都是P的外点，即△i∩P=?； (3)△i上含有P的边界点.
将所有属于直线网T的第(1)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来， 记和数为sp(T)，则有sp(T)≤△R(矩形R的面积)；
将所有第(1)类与第(3)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来， 记作Sp(T)，则有sp(T)≤Sp(T). 由确界存在定理知，
对于平面上所有直线网，数集{sp(T)}有上确界，数集{Sp(T)}有下确界， 记Ip?sup{sp(T)} ,Ip?inf{Sp(T)}. 显然有0≤Ip≤Ip.
TTIp称为内面积，Ip称为外面积.
定义1：若平面图形P的内面积Ip等于它的外面积Ip, 则称P为可求面积，并称其共同值Ip=Ip=Ip为P的面积.
定理21.1：平面有界图形P可求面积的充要条件是：对任给ε>0, 总
存在直线网T，使得Sp(T)-sp(T)< ε.
证：[必要性]设P的面积为Ip, 由面积的定义知, Ip=Ip=Ip. ?ε>0, 由Ip及Ip的定义知，分别存在直线网T1与T2，使得 sp(T1)>Ip-, S p(T2)
Ip=Ip，∴平面图形
?2?2?2?2P可求面积.
推论：平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积Ip=0，即对任给的ε>0, 存在某直线网T，使得Sp(T)<ε，或 平面图形P能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖.
定理21.2：平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为0.
证：由定理21.1，P可求面积的充要条件是：?ε>0, ?直线网T， 使得Sp(T)-sp(T)<ε. 即有SK(T)=Sp(T)-sp(T)<ε， 由推论知，P的边界K的面积为0.
定理21.3：若曲线K为定义在[a,b]上的连续函数f(x)的图象，则曲线K的面积为零.
证：∵f(x)在闭区间[a,b]上连续，从而一致连续. ∴?ε>0, ?δ>0, 当把区间[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi] (i=1,2,…,n, x0=a,xn=b)并满足 max{△xi=xi-xi-1 |i=1,2,…,n }<δ时，
可使f(x)在每个小区间[xi-1,xi]上的振幅都有ωi<
?b?a.
把曲线K按自变量x=x0,x1,…,xn分成n个小段，则 每一个小段都能被以△xi为宽, ωi为高的小矩形所覆盖，又 这n个小矩形面积的总和为??i?xi<
i?1n?b?a??xi?1ni<ε，
由定理21.1的推论即得曲线K的面积为零.
推论1：参数方程x=φ(t), y=ψ(t), t∈[α,β]所表示的光滑曲线K的面积为零.
证：由光滑曲线的定义，φ’(t),ψ’(t)在[α,β]上连续且不同时为0. 对任意t0∈[α,β]，不妨设φ’(t0)≠0，则存在t’的某邻域U(t0), 使得 x=φ(t)在此邻域上严格单调，从而存在反函数t=φ-1(x). 又 由有限覆盖定理，可把[α,β]分成有限段：α=t0 推论2：由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的. 注：并非平面中所有的点集都是可求面积的. 如D={(x,y)|x,y∈Q∩[0,1]}. 易知0=ID≤ID=1, 所以D是不可求面积的. 二、二重积分的定义及其存在性 引例：求曲顶柱体的体积(如图1). 设f(x,y)为定义在可求面积的有界闭区域D上的非负连续函数. 求以曲面z=f(x,y)为顶，以D为底的柱体体积V. 用一组平行于坐标轴的直线网T把D分成n个小区域σi (i=1,2,…,n). ∵f(x,y)在D上连续，∴当每个σi都很小时， f(x,y)在σi上各点的函数值近似相等； 可在σi上任取一点(ξi,ηi)，用以f(ξi,ηi)为高， σi为底的小平顶柱体的体积f(ξi,ηi)△σi 作为Vi的体积△Vi，即△Vi≈f(ξi,ηi)△σi. 把这些小平顶柱体的体积加起来， 就得到曲顶柱体体积V的近似值： V=??Vi≈?f(?i,?i)??i. i?1i?1nn当直线网T的网眼越来越细密，即 分割T的细度T=maxdi→0(di为σi的直径)时，?f(?i,?i)??i→V. 1?i?ni?1n 概念：设D为xy平面上可求面积的有界闭区域，f(x,y)为定义在D上的函数. 用任意的曲线把D分成n个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn. 以△σi表示小区域△σi的面积，这些小区域构成D的一个分割T， 以di表示小区域△σi的直径，称T=maxdi为分割T的细度. 1?i?n