习题10

10.1选择题

(1) 对于安培环路定理的理解，正确的是：

（A）若环流等于零，则在回路L上必定是H处处为零； （B）若环流等于零，则在回路L上必定不包围电流；

（C）若环流等于零，则在回路L所包围传导电流的代数和为零； （D）回路L上各点的H仅与回路L包围的电流有关。

[答案：C]

(2) 对半径为R载流为I的无限长直圆柱体，距轴线r处的磁感应强度B（） （A）内外部磁感应强度B都与r成正比；

（B）内部磁感应强度B与r成正比，外部磁感应强度B与r成反比； （C）内外部磁感应强度B都与r成反比；

（D）内部磁感应强度B与r成反比，外部磁感应强度B与r成正比。

[答案：B]

(3）质量为m电量为q的粒子，以速率v与均匀磁场B成θ角射入磁场，轨迹为一螺旋线，若要增大螺距则要（） （A） 增加磁场B；（B）减少磁场B；（C）增加θ角；（D）减少速率v。

[答案：B]

(4）一个100匝的圆形线圈，半径为5厘米，通过电流为0.1安，当线圈在1.5T的磁场中从θ=0的位置转到180度（θ为磁场方向和线圈磁矩方向的夹角）时磁场力做功为（） （A）0.24J；（B）2.4J；（C）0.14J；（D）14J。

[答案：A]

10.2 填空题

(1)边长为a的正方形导线回路载有电流为I，则其中心处的磁感应强度 。

[答案：

22?0I?a，方向垂直正方形平面]

(2)计算有限长的直线电流产生的磁场 用毕奥——萨伐尔定律，而 用安培环路定理求得（填能或不能）。

[答案：能, 不能]

(3)电荷在静电场中沿任一闭合曲线移动一周，电场力做功为 。电荷在磁场中沿任一闭合曲线移动一周，磁场力做功为 。

[答案：零，零]

(4)两个大小相同的螺线管一个有铁心一个没有铁心，当给两个螺线管通以 电流时，管内的磁力线分布相同，管内的磁感线分布将 。

[答案：相同，不相同]

?10.3 在同一磁感应线上，各点B的数值是否都相等?为何不把作用于运动电荷的磁力方向?定义为磁感应强度B的方向?

解: 在同一磁感应线上，各点B的数值一般不相等．因为磁场作用于运动电荷的磁力方向不仅与磁感应强度B的方向有关，而且与电荷速度方向有关，即磁力方向并不是唯一由磁

???场决定的，所以不把磁力方向定义为B的方向．

题10.3图

?10.4 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B的大小在沿磁

感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)? (2)若存在电流，上述结论是否还对?

?? 解: (1)不可能变化，即磁场一定是均匀的．如图作闭合回路abcd可证明B1?B2

?abcd??B?dl?B1da?B2bc??0?I?0

??∴ B1?B2

（2）若存在电流，上述结论不对．如无限大均匀带电平面两侧之磁力线是平行直线，

???但B方向相反，即B1?B2.

10.5 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场?

答: 不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路定理并不适用．

10.6 在载流长螺线管的情况下，我们导出其内部B??0nI，外面B=0，所以在载流螺线管 外面环绕一周(见题10.6图)的环路积分

???LB外·dl=0

但从安培环路定理来看，环路L中有电流I穿过，环路积分应为 这是为什么?

??l·d=?0I B?L外解: 我们导出B内??0nl,B外?0有一个假设的前提，即每匝电流均垂直于螺线管轴线．这

??时图中环路L上就一定没有电流通过，即也是?B外?dl??0?I?0，与

L?L???B外?dl??0?dl?0是不矛盾的．但这是导线横截面积为零，螺距为零的理想模型．实

际上以上假设并不真实存在，所以使得穿过L的电流为I，因此实际螺线管若是无限长时，

??I只是B外的轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量B??0,r为管外一点到螺线管轴

2?r的距离．

题 10.6 图

10.7 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场?如果它发

生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场?

解：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不能肯定这个区域中没有磁场，也可能存在互相垂直的电场和磁场，电子受的电场力与磁场力抵消所致．如果它发生偏转也不能肯定那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转．

2

10.8 已知磁感应强度B?2.0 Wb/m的均匀磁场，方向沿x轴正方向，如题9-6图所示．试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量．

解： 如题10.8图所示

题10.8图

(1)通过abcd面积S1的磁通是

?1?B?S1?2.0?0.3?0.4?0.24Wb

(2)通过befc面积S2的磁通量

?????2?B?S2?0

(3)通过aefd面积S3的磁通量

??4?3?B?S3?2?0.3?0.5?cos??2?0.3?0.5??0.24Wb (或?0.24Wb)

5

题10.9图

?10.9 如题10.9图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其

半径为R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．

?解：如题10.9图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生．其中

?AB 产生 B1?0

BC 产生B2??0I12R，方向垂直向里

CD 段产生 B3??0I?I3(sin90??sin60?)?0(1?)，方向?向里 R2?R24?2∴B0?B1?B2?B3?

?0I3?(1??)，方向垂直向里． 2?R2610.10 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线L1和L2，相距0.1m，通有方向相反的电流，I1=20A,I2=10A，如题10.10图所示．A，B两点与导线在同一平面内．这两点与导线L2的距离均为5.0cm．试求A，B

题10.10图

解：如题10.10图所示,BA方向垂直纸面向里

?BA??0I12?(0.1?0.05)??0I2?1.2?10?4T

2??0.05BB???0I12?(0.1?0.05)??0I2?1.33?10?5T

2??0.05?(2)设B?0在L2外侧距离L2为r处

则

?0I2?(r?0.1)??I2?0 2?r解得 r?0.1 m

题10.11图

10.11 如题10.11图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A，B两点，并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O的磁感应强度．

解： 如题10.11图所示，圆心O点磁场由直电流A?和B?及两段圆弧上电流I1与I2所产生，但A?和B?在O点产生的磁场为零。且

I1电阻R2???. I2电阻R12????I1产生B1方向?纸面向外

B1??0I1(2???)，

2R2??I2产生B2方向?纸面向里

B2??0I2?

2R2?∴

B1I1(2???)??1 B2I2????B?B?B有 012?0

10.12 在一半径R=1.0cmI=5.0 A通过，电流分布均匀.如题10.12图所示．试求圆柱轴线任一点P处的磁感应强度．

题10.12图

解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取

?I坐标如题10.12图所示，取宽为dl的一无限长直电流dI?在轴上P点产生dB与Rdl，

?R垂直，大小为

IRd??0dI?Id??RdB???02 2?R2?R2?R?Icos?d? dBx?dBcos??022?R?Isin?d?? dBy?dBcos(??)??0222?R?0∴ Bx???2??2?0I?Icos?d??0I???[sin?sin(?)]??6.37?10?5 T 2222?R2?R22?RBy??(??2??2?0Isin?d?)?0 22?R???5∴ B?6.37?10i T

10.13 氢原子处在基态时，它的电子可看作是在半径a=0.52×10cm的轨道上作匀速圆周运动，

-8

速率v=2.2×10cm/s．求电子在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值．

8

解：电子在轨道中心产生的磁感应强度

????0ev?aB0? 34?a如题10.13图，方向垂直向里，大小为

B0???0ev?13 T 4?a2电子磁矩Pm在图中也是垂直向里，大小为

Pm?e2eva?a??9.2?10?24 A?m2 T2题10.13图 题10.14图

10.14 两平行长直导线相距d=40cm，每根导线载有电流I1=I2=20A，如题10.14图所示．求： (1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感(2)通过图中斜线所示面积的磁通量．(r1=r3=10cm,

l=25cm)

解：(1) BA??0I1d2?()2??0I2d2?()2?4?10?5 T

?纸面向外

(2)

dS?ldr

r1?r2r1????1I1?0I1?Il?Il1?Il[?]ldr?01ln3?02ln?1ln3?2.2?10?6Wb 2?r2?(d?r)2?2?3?

10.15 一根很长的铜导线载有电流10A，设电流均匀分布.在导线内部作一平面S，如题10.15图所示．试计算通过S平面的磁通量(沿导线长度方向取长为1m的一段作计算)．铜的磁导率

???0.

解：由安培环路定律求距圆导线轴为r处的磁感应强度

?B??dl??0?I

lIr2B2?r??02

R∴ B??0Ir 22?R

题 10.15 图

??R?Ir?0I?60dr??10磁通量 ?m??B?dS?? Wb

(s)02?R24?

10.16 设题10.16图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线a,b,c，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论：

?(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B的大小是否相等?

(2)在闭合曲线c上各点的B是否为零?为什么?

???解： ?B?dl?8?0

a?ba??B?dl?8?0

c??B??dl?0

?(1)在各条闭合曲线上，各点B的大小不相等．

???(2)在闭合曲线C上各点B不为零．只是B的环路积分为零而非每点B?0．

题10.16图题10.17图

10.17 题10.17图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a,b，导体内载有沿轴线方向的电流I，且I均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率

???0，试证明导体内部各点(a?r?b) 的磁感应强度的大小由下式给出： r2?a2 B?

r2?(b2?a2)?0I解：取闭合回路l?2?r (a?r?b)

??则 ?B?dl?B2?r

l?I?(?r2??a)2I 22?b??a?0I(r2?a2)∴ B? 222?r(b?a)

10.18 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别为b,c)构成，如题10.18图所示．使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r＜a),(2)两导体之间(a＜r＜b)，（3）导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感应强度的大小

??解： ?B?dl??0?I

LIr2(1)r?a B2?r??02

RB?(2) a?r?b B2?r??0I

?0Ir 2?R2B??0I 2?rr2?b2??0I (3)b?r?c B2?r???0I2c?b2?0I(c2?r2) B?222?r(c?b)(4)r?c B2?r?0

B?0

题10.18图题10.19图

10.19 在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a＞r，横截面如题10.19图所示．现在电流I沿导体管流动，电流均

(1) (2) 解：空间各点磁场可看作半径为R，电流I1均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为r电流?I2均匀分布在横截面上的圆柱导体磁场之和． (1)圆柱轴线上的O点B的大小：

电流I1产生的B1?0，电流?I2产生的磁场

?0I2?0Ir2B2?? 222?a2?aR?r∴ B0?(2)空心部分轴线上O?点B的大小：

?0Ir22?a(R?r)22

??0， 电流I2产生的B2?0Ia?0Ia2???电流I1产生的B2 22222?aR?r2?(R?r)??∴ B0

?0Ia2?(R2?r2)

题10.20图

10.20 如题10.20图所示，长直电流I1附近有一等腰直角三角形线框，通以电流I2，二者 共面．求△ABC的各边所受的磁力． 解： FAB???AB??I2dl?B

FAB?I2a?0I1?0I1I2a? 方向垂直AB向左 2?d2?d???CFAC??I2dl?B 方向垂直AC向下，大小为

AFAC??d?adI2dr?同理 FBC方向垂直BC向上，大小

?0I1?0I1I2d?a ?ln2?r2?dFBc??d?adI2dl?0I1 2?r∵ dl?∴ FBC?

dr ?cos45?d?aa?0I2I1dr?IId?a?012ln

2?rcos45?d2?题10.21图

?10.21 在磁感应强度为B的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电

流为I，如题10.21图所示．求其所受

?

解：在曲线上取dl ???b则 Fab??Idl?B

a??????∵ dl与B夹角?dl，B??不变，B是均匀的．

2????bb?∴ Fab??Idl?B?I(?dl)?B?Iab?B

aa方向⊥ab向上，大小Fab?BIab

题10.22图

10.22 如题10.22图所示，在长直导线AB内通以电流I1=20A，在矩形线圈CDEF中通有电流I2=10 A，AB与线圈共面，且CD，EF都与AB平行．已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0 cm (1)导线AB(2)

? 解：(1)FCD方向垂直CD向左，大小

FCD?I2b同理FFE方向垂直FE向右，大小

?0I1?8.0?10?4 N 2?d?FFE?I2b?FCF方向垂直CF向上，大小为

?0I12?(d?a)?8.0?10?5 N

FCF??d?ad?0I1I2?IId?adr?012ln?9.2?10?5 N 2?r2?d?FED方向垂直ED向下，大小为

FED?FCF?9.2?10?5(2)合力F?FCD?FFE?FCF?FED方向向左，大小为

N

?????F?7.2?10?4N

???合力矩M?Pm?B

∵ 线圈与导线共面

∴ Pm//B

???M?0．

题10.23图

10.23 边长为l=0.1m线圈平面与磁B=1T 的均匀磁场中，场方向平行.如题10.23图所示，使线圈通以电流I=10A，求： (1)线圈每边所受的安培力； (2)对OO?轴的磁力矩大小；

(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．

???F?Il?B?0 解： (1) bc???Fab?Il?B 方向?纸面向外，大小为

Fab?IlBsin120??0.866 N

???Fca?Il?B方向?纸面向里，大小

Fca?IlBsin120??0.866 N

(2)Pm?IS

???M?Pm?B 沿OO?方向，大小为

3l2M?ISB?IB?4.33?10?2 N?m

4(3)磁力功 A?I(?2??1)

∵ ?1?0 ?2?32lB 4

∴ A?I

32lB?4.33?10?2J410.24 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a，共有N匝，可以绕通过其相对两边中点的

?一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电流I，并把线圈放在均匀的水平外磁场B中，求?线圈磁矩与磁场B的夹角为?时，线圈受到的转动力矩.

???解：由线圈所受磁力矩M?Pm?B得到

M?PmBsin??NIa2Bsin?

10.25 一长直导线通有电流I1＝20A，旁边放一导线ab，其中通有电流I2=10A，且两者共面，如题10.25图所示．求导线ab所受作用力对O点的力矩． 解：在ab上取dr，它受力

?dF?ab向上，大小为

dF?I2dr?0I1 2?r????dF对O点力矩dM?r?F ?dM方向垂直纸面向外，大小为

dM?rdF??0I1I2dr 2??6?IIM??dM?012a2?b?dr?3.6?10ab N?m

题10.25图

10.26 电子在B=70×10T

纸面向外，某时刻电子在A点，速度v向上，如题10.26图．

(1)试画出这电子运动的轨道；

?(2)求这电子速度v的大小； (3)求这电子的动能Ek．

-4

?r=3.0cm．已知B垂直于

?

题10.26图

解：(1)轨迹如图

v2(2)∵ evB?m

reBr?3.7?107m?s?1 m12?16(3) EK?mv?6.2?10 J

2∴ v?

-4

10.27 一电子在B=20×10T如题10.27 (1)

R=2.0cm

h=5.0cm，

?(2)磁场B的方向如何?

解: (1)∵ R?mvcos? eBh?2?mvcos?eB(题10.27 图

∴ v?eBR2eBh2)?()?7.57?106m?s?1 m2?m?(3)磁场B的方向沿螺旋线轴线．或向上或向下，由电子旋转方向确定．

-3

10.28 在霍耳效应实验中，一宽1.0cm，长4.0cm，厚1.0×10cm的导体，沿长度方向载有

-5

3.0A的电流，当磁感应强度大小为B=1.5T的磁场垂直地通过该导体时，产生1.0×10V的横向电压．试求：

(1)载流子的漂移速度； (2)每立方米的载流子数目．

解: (1)∵ eEH?evB ∴v?EHUH? l为导体宽度，l?1.0cm BlBUH1.0?10?5??2?6.7?10?4 m?s-1 ∴ v?lB10?1.5(2)∵ I?nevS ∴ n? ?I evS3 ?19?4?2?51.6?10?6.7?10?10?10?2.8?1029m?3

10.29 两种不同磁性材料做成的小棒，放在磁铁的两个磁极之间，小棒被磁化后在磁极间处于不同的方位，如题10.29图所示．试指出哪一个是由顺磁质材料做成的，哪一个是由抗磁质材料做成的?

解: 见题10.29图所示.

题10.29图

题10.30图

10.30 题10.30图中的三条线表示三种不同磁介质的B?H关系曲线，虚线是B=?0H关系的曲线，试指出哪一条是表示顺磁质?哪一条是表示抗磁质?哪一条是表示铁磁质? 答: 曲线Ⅱ是顺磁质，曲线Ⅲ是抗磁质，曲线Ⅰ是铁磁质．

10.31 螺绕环中心周长L=10cm，环上线圈匝数N=200匝，线圈中通有电流I=100 mA．

??(1)当管内是真空时，求管中心的磁场强度H和磁感应强度B0；

??(2)若环内充满相对磁导率?r=4200的磁性物质，则管内的B和H各是多少?

*(3)磁性物质中心处由导线中传导电流产生的B0和由磁化电流产生的B′各是多少?

????解: (1) ?H?dl??I

lHL?NI NIH??200A?m?1

LB0??0H?2.5?10?4T

(2)H?200 A?m?1B??H??r?oH?1.05 T

??4(3)由传导电流产生的B0即(1)中的B0?2.5?10∴由磁化电流产生的B??B?B0?1.05T

T

10.32 螺绕环的导线内通有电流20A，利用冲击电流计测得环内磁感应强度的大小是1.0

2

Wb/m．已知环的平均周长是40cm，绕有导线400 (1)磁场强度； (2)磁化强度； *(3)磁化率； *(4)相对磁导率． 解: (1)H?nI?(2)M?NI?2?104lA?m?1

B?0?H?7.76?105A?m?1

(3)xm?M?38.8 H(3)相对磁导率 ?r?1?xm?39.8

2

10.33 一铁制的螺绕环，其平均圆周长L=30cm，截面积为1.0 cm，在环上均匀绕以300匝

-6

导线，当绕组内的电流为0.032安培时，环内的磁通量为2.0×10Wb

(1)环内的平均磁通量密度； (2)圆环截面中心处的磁场强度；

解: (1) B???2?10?2 T S??(2) ?H?dl?NI0

H?NI0?32A?m?1 L