海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案

2019.4

数 学

一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1 D 2 A 3 D 4 B 5 C 6 C 7 A 8 D 题号 答案

二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9.

?2i （答案不唯一）

10. y??2x

11. x??1;5 13. ?

12.

3 4 14. ②③（对一个得2分，有错误不给分）

三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解：

（Ⅰ）因为点A(1,2)在圆x?y?4x?a?0上,

所以1?4?4?a?0.

解得 a??1.

所以圆的方程为x?y?4x?1?0，即(x?2)?y?5. 所以圆心坐标为(2,0)，圆的半径r为5. （Ⅱ）因为点A，点B都在圆上，且AB?25?2r,

所以直线AB经过圆C的圆心.

222222所以直线AB的斜率k?0?2??2. 2?1所以直线AB的方程为y??2(x?2)，即y??2x?4. 16. 解： （Ⅰ） (11,1 )，

3311

也给分，填(,0)不给分. 33

注：每空 2 分，第一个空开闭均可，第二个空填x=(x)=3ax2+2bx+1， （Ⅱ）因为f￠ì?由题意知，í??1f￠()=0;3 f￠(1)=0.2ì骣11?2b?1=0;?3a?琪琪 即í33桫?2??3a?12b?11=0.ì?a=1, 解得íb=-2.??（Ⅲ）c=0或-17. 解：

（Ⅰ）由题意可知，a?2,e?4. 27c6?， a3所以c?26. 384?， 33因为b2?a2?c2?4?x2y2??1. 所以椭圆的方程为

443（Ⅱ）点A在以CD为直径的圆上. 设C坐标为(x1,y1)，D坐标为(x2,y2). ① 当直线l斜率不存在时，则l的方程为x?1.

由??x?1,22?x?3y?4.得 ??x?1,

?y??1.不妨设C(1,1)，D(1,?1). 所以AC?(?1,1),AD?(?1,?1). 所以AC?AD?0. 所以AC?AD.

所以点A在以CD为直径的圆上.

②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y?k(x?1). 由??y?k(x?1),?x?3y?4.2222

得(1?3k)x?6kx?3k?4?0

22?6k2x1?x2?,?2?1?3k 所以?2?xx?3k?4.12?1?3k2?所以AC?(x1?2,y1),AD?(x2?2,y2). 所以AC?AD?(x1?2)(x2?2)?y1y2.

?(x1?2)(x2?2)?k2(x1?1)(x2?1)

?x1x2?2(x1?x2)?4?k2[x1x2?(x1?x2)?1]

23k2?46k26k223k?4??2??4?k(??1) 22221?3k1?3k1?3k1?3k3k2?3k2???0. 1?3k21?3k2所以AC?AD?0. 所以AC?AD.

所以点A在以CD为直径的圆上.

综上，点A在以CD为直径的圆上. 18. 解：

(x)=ax-ex， （Ⅰ）f￠(1)=0 由题意知，f￠即a-e=0 ，

所以a=e. （Ⅱ）当a=3时，f(x)?32xx?e， 2(x)=3x-ex. 所以f￠令g(x)?f?(x)， 所以g?(x)?3?e.

x因为x?[0,1]，所以e?[1,e]. 因此g?(x)?3?e?0恒成立.

xx所以当x?[0,1]时，g(x)?f?(x)单调递增. 又因为f'(0)=-1<0，f'(1)=3-e>0， 所以存在唯一的x0?(0,1)，使得f'(x0)=0. 列表如下：

x 0 (0,x0) x0 0 极小值 (x0,1) 1 f￠(x) -1 -1 - + 3-e 3-e 2f(x) 当x?[0,1]时，f(x)max禳镲3=max{f(0),f(1)}=max睚-1,-e=-1.

镲铪2所以当a=3,x?[0,1]时，f(x)?1. （Ⅲ）a?(??,0)U(e,??).