4.3.1 平面直角坐标系中的平移变换

1．理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量． 2．掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式．

[基础·初探]

1．平移

在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F的平移，若以向量a表示移动的方向和长度，也称图形F按向量a平移．

2．平移变换公式

设P(x，y)，向量a＝(h，k)，平移后的对应点P′(x′，y′)，则(x，y)＋(h，?x＋h＝x′，

k)＝(x′，y′)或?

y＋k＝y′.?

[思考·探究]

1．求平移后曲线的方程的步骤是什么？

【提示】 步骤：(1)设平移前曲线上一点P的坐标为(x，y)，平移后的曲线上对应点P′的坐标为(x′，y′)；

?x′＝x＋h，?x＝x′－h，?(2)写出变换公式并转化为? ?y′＝y＋k，?y＝y′－k；(3)利用上述公式将原方程中的x，y代换；

(4)按习惯，将所得方程中的x′，y′分别替换为x，y，即得所求曲线的方程．

2．在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如

何理解的？

【提示】 其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量．

其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移．

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________

平移变换公式的应用 点M(8，－10)按a平移后的对应点M′的坐标为(－7,4)，求a. ?－7＝8＋h，【自主解答】 由平移公式得?

?4＝－10＋k，?h＝－15，解得?即a＝(－15,14)．

?k＝14，[再练一题]

1．把点A(－2,1)按a＝(3,2)平移，求对应点A′的坐标(x′，y′)． 【解】 由平移公式得

?x′＝－2＋3＝1，?即对应点A′的坐标(1,3). ?y′＝1＋2＝3，

平移变换公式在圆锥曲线中的应用

求双曲线4x2－9y2－16x＋54y－29＝0的中心坐标、顶点坐标、焦点坐标与对称轴方程、准线方程和渐近线方程．

【思路探究】 把双曲线方程化为标准方程求解．

【自主解答】 将方程按x，y分别配方成4(x－2)2－9(y－3)2＝－36， ?y－3?2?x－2?2

即4－9＝1.

?x′＝x－2，y′2x′2令?方程可化为4－9＝1. ?y′＝y－3，

y′2x′2

双曲线4－9＝1的中心坐标为(0,0)，顶点坐标为(0,2)和(0，－2)，焦点坐标为(0，13)和(0，－13)，对称轴方程为x′＝0，y′＝0，准线方程为y′y′x′4

＝±13，渐近线方程为

132±3＝0.

?x＝x′＋2，根据公式?可得所求双曲线的中心坐标为(2,3)，顶点坐标为

y＝y′＋3?(2,5)和(2,1)，焦点坐标为(2,3＋13)和(2,3－13)，对称轴方程为x＝2，y＝3，y－3x－2413

准线方程为y＝3±13，渐近线方程为2±3＝0，即2x＋3y－13＝0和2x－3y＋5＝0.

几何量a，b，c，e，p决定了圆锥曲线的几何形状，它们的值与圆锥曲线的位置无关，我们将其称为位置不变量．

[再练一题]

2．已知抛物线y＝x2＋4x＋7. (1)求抛物线顶点的坐标；

(2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式．

【导学号：98990018】

【解】 (1)设抛物线y＝x2＋4x＋7的顶点O′的坐标为(h，k)，那么 h＝－4×7－44

＝－2，k＝＝3， 24

即这条抛物线的顶点O′的坐标为(－2,3)． (2)将抛物线y＝x2＋4x＋7平移，

使点O′(－2,3)与点O(0,0)重合，这种图形的变换可以看做是将其按向量O→′O平移得到的，设O→′O的坐标为(m，n)，那么

?m＝0－?－2?＝2，

?所以抛物线按(2，－3)平移，平移后的方程为y＝x2. ?n＝0－3＝－3.

[真题链接赏析]

(教材第40页习题4.3第3题)写出抛物线y2＝8x按向量(2，－1)

平移后的抛物线方程和准线方程．

将函数y＝2x的图象l按a＝(0,3)平移到l′，求l′的函数解

析式．

【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中平移公式的运用． 【解】 设P(x，y)为l的任意一点，它在l′上的对应点P′(x′，y′) 由平移公式得

2

?x′＝x＋0，?x＝x′，??? ?y′＝y＋3?y＝y′－3.

将它们代入y＝2x中得到y′－3＝2x′， 即函数的解析式为y＝2x＋3.

1．将点P(7,0)按向量a平移，得到对应点A′(11,5)，则a＝________. 【答案】 (4,5)

2．直线l：3x－2y＋12＝0按向量a＝(2，－3)平移后的方程是________．

【导学号：98990019】

【答案】 3x－2y＝0

3．曲线x2－y2－2x－2y－1＝0的中心坐标是________． 【解析】 配方，得(x－1)2－(y＋1)2＝1. 【答案】 (1，－1)

4．开口向上，顶点是(3,2)，焦点到顶点距离是1的抛物线方程是________． 【解析】 开口向上，焦点到顶点距离是1的抛物线的标准方程是x2＝4y，所以所求抛物线的方程是(x－3)2＝4(y－2)．

【答案】 (x－3)2＝4(y－2)

我还有这些不足：

(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：

(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________

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