?1?EA?EO212?2?∵EA??a,?a,?，∴cos?AEO?， a,EO?0,0,?a?????2???2222EA?EO????∴?AOE?45?，即AE与平面PDB所成的角的大小为45?. 15.（2009湖南高考）如图3，在正三棱柱ABC?A1B1C1中， AB=4, AA1?7,点D是BC的中点， 点E在AC上，且DE?A1E.

?平面ACC1A1; （Ⅰ）证明：平面A1DE（Ⅱ）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值。

?平面ABC. 【解析】（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱ABC?A1B1C1的性质知AA1?A1E，AA1又DE?平面ABC，所以DE?AA1.而DE

所以DE⊥平面ACC1A1.又DE ?平面A1DE， 故平面A平面ACC1A1DE⊥1.

A1E?A1,

F, （Ⅱ）方法一: 过点A作AF垂直A1E于点

?ADF是直线AD和平面A1DE连接DF.由（Ⅰ）知，平面A平面ACC1A所以AF?平面A1DE⊥1，1DE,故?AC.而?ABC是边长为4的正三角形，于是AD=23，所成的角。因为DE?平面ACC1A1，所以DE

AE=4-CE=4-CD=3.

12AE?又因为AA1?7，所以1AF?AA12?AE2?(7)2?32= 4,

AF21AE?AA137 , sin?ADF?. ??AD8A1E421 . 8即直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为

方法二 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系， 则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), A1(2,0,7), D(-1, 3,0), E(-1,0,0).

易知A，DE=（0，-3，0），AD=（-3，3，0）. 1D=（-3，3，-7）r设n?(x,y,z)是平面A1DE的一个法向量，则 ruuuv??n?DE??3y?0, ?ruuuv??n?A1D??3x?3y?7z?0.解得x??7z,y?0. 3r故可取n?(7,0,?3).于是

ruuurruuurn?AD?3721. cosn,AD?ruuu??r=8n?AD4?23由此即知，直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为

21. 8S16.（2009湖北高考）如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形， SD?平面ABCD，BD=2a，AD?且DE??a(0???2)

2a点E是SD上的点，

EDC（Ⅰ）求证：对任意的??(0,2]，都有AC?BE （Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为?，直线BE与平面ABCD

AB所成的角为?，若tan?gtan??1，求?的值 【解析】（Ⅰ）方法一：如图1，连接BE、BD， 由面ABCD是正方形可得AC⊥BD。

SD⊥平面ABCD，?BD是BE在平面ABCD上的射影，?AC⊥BE

（Ⅱ）如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= ?,

SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD, ?SD⊥CD。

又底面ABCD是正方形，? CD⊥AD，而SD? AD=D，CD⊥平面SAD. 连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE， 故∠CFD是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD=?。 在Rt△BDE中，在Rt△ADE中, 从而DF?BD=2a，DE=?a?tan??DE?? BD2AD?2a,DE??a,?AE?a?2?2 AD?DE2?a ?2AE??2在Rt?CDF中，tan??CD?2?2DF??. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由tan??tan??1，得?2?2???2?1??2?2?2??2?2. 由??(0,2]，解得??2，即为所求.

方法二（Ⅰ）：以D为原点，DA,DC,DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如 图2所示的空间直角坐标系，则

D（0，0，0），A（2a，0，0），B（2a，2a，0），

C（0，2a，0），E（0，0，?a）， ?AC?(?2a,2a,0)B,E??(a2?,?a2 ,a) ?AC?BE?2a2?2a2?0??a?0，w 即AC?BE。

（Ⅱ）由（I）得EA?(2a,0,??a),EC?(0,2a,??a),BE?(?2a,?2a,?a). 设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由n?EA,n?EC得

???n?EA?0,即???EC?0,?2x??z?0,取z?2，得n(?,?,2)。 ?n???2y??z?0,

易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为DS?(0,0,2a)与DC?（0，2a,0）. ?sin??DS?BE?DS?BE??2?4,cos??DC?nDC?n??2?2?2. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

0

?tan??tan?????????2?sin??cos???2?4?2?2?2??2?2.

由于??(0,2，解得]??2即为所求。

17.（2009湖南高考）如图4，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?2AA1,D是A1B1的中点，点E在AC11上，且DE?AE。

（Ⅰ）证明平面ADE?平面ACC1A1

（Ⅱ）求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】（I） 如图所示，由正三棱柱的性质知AA1?平面A1B1C1又DE?平面A1B1C1，所以DE?AA1.而DE?AE。AA1?AE=A,所以DE?平面AC C1A1，又DE?平面ADE，故平面ADE?平面AC C1A1。 （2）方法1 如图所示，设F是AB的中点，连接DF、DC1、C1F，由正三棱柱ABC- A1B1C1的性质及D是A1B1的中点知A1B1?C1D，A1B1?DF w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又C1D?DF=D，所以A1B1?平面C1DF，而AB∥A1B， 所以AB?平面C1DF，又AB?平面ABC1， 故平面AB C1?平面C1DF。

过点D做DH垂直C1F于点H，则DH?平面AB C1.w.w.k.s.5.u.c.o.m 连接AH，则?HAD是AD和平面ABC1所成的角。

由已知AB=2A A1，不妨设A A1=2，则AB=2，DF=2，D C1=3， C1F=5，AD=AA12?A1D2=3，DH=DH10=。 AD5DF·DC12?330==，

5C1F5所以 sin?HAD=

即直线AD和平面AB C1所成角的正弦值为

10。 5方法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系， 不妨设A A1=2，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)， B（3，0，0），C1（0，1，2），D（

13，-，2）。

2213，-，2）

22易知AB=(3，1，0)， AC1=(0，2，2)， AD=(