押题预测
如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，过A，B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别E，F，AB＝AE＝2，CD＝5，已知DE＝1，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，得空间几何体ADE－BCF，如图2.
(1)若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE；
(2)若DE∥CF，CD＝3，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值为求AP的长.
(1)证明 由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，AF⊥BE， 由已知得AF⊥BD，BE∩BD＝B，BE，BD?平面BDE， ∴AF⊥平面BDE，
又DE?平面BDE，∴AF⊥DE，
又AE⊥DE，AE∩AF＝A，AE，AF?平面ABFE， ∴DE⊥平面ABFE.
(2)解 在图2中，AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF＝E，DE，EF?平面DEFC，
5
，20
即AE⊥平面DEFC，
在梯形DEFC中，过点D作DM∥EF交CF于点M，连接CE， 由题意得DM＝2，CM＝1， 由勾股定理可得DC⊥CF， π
则∠CDM＝，CE＝2，
6过E作EG⊥EF交DC于点G， 可知GE，EA，EF两两垂直，
→→→
以E为坐标原点，以EA，EF，EG分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 13
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,1，3)，D?0，－，?，
22??13→→
AC＝(－2,1，3)，AD＝?－2，－，?.
22??
设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y，z)， →?AC＝0，?n·由?
→?AD＝0，?n·
－2x＋y＋3z＝0，??得? 13??－2x－2y＋2z＝0，取x＝1，得n＝(1，－1，3)， 设AP＝m，则P(2，m,0)，0≤m≤2， →
得CP＝(2，m－1，－3)， 设CP与平面ACD所成的角为θ， →
sin θ＝|cos〈CP，n〉|＝＝
52
?m＝(舍负). 203
|m|
5×7＋?m－1?2
2
所以AP＝. 3
A组 专题通关
1.(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
(1)证明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值.
(1)证明 由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，因为BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE. 又BE⊥EC1，EC1∩B1C1＝C1， 所以BE⊥平面EB1C1. (2)解 由(1)知∠BEB1＝90°.
由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.
→→
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
→→→
则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，CB＝(1,0,0)，CE＝(1，－1,1)，CC1＝(0,0,2). →??n＝0，?CB·?x＝0，
设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，则?即?
?→x－y＋z＝0，??n＝0，?CE·
所以可取n＝(0，－1，－1).
设平面ECC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则 →??m＝0，?CC1·?2z1＝0，
?即?
?→x－y＋z＝0，?111?m＝0，?CE·
所以可取m＝(1,1,0).
n·m1
于是cos〈n，m〉＝＝－，
|n||m|2sin〈n，m〉＝13－?2＝， 1－??2?2
3
. 2
所以二面角B－EC－C1的正弦值为
2.(2019·全国Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2. (1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求图2中的二面角B—CG—A的大小.
(1)证明 由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG， 故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B， BE，BC?平面BCGE，故AB⊥平面BCGE. 又因为AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)解 作EH⊥BC，垂足为H.因为EH?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，平面BCGE∩平面ABC＝BC，所以EH⊥平面ABC.
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°， 可求得BH＝1，EH＝3.
→
以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz，则
→→
A(－1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，3)，CG＝(1,0，3)，AC＝(2，－1,0). 设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)， →?n＝0，?CG·?x＋3z＝0，则?即?
→2x－y＝0.??n＝0，?AC·
所以可取n＝(3,6，－3).
又平面BCGE的法向量可取为m＝(0,1,0)， n·m3所以cos〈n，m〉＝＝. |n||m|2因此二面角B－CG－A的大小为30°.
3.(2019·马鞍山模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，A1B⊥AC1，AC＝AA1＝4，BC＝2.
(1)求证：平面A1ACC1⊥平面ABC；
(2)若∠A1AC＝60°，在线段AC上是否存在一点P，使二面角B－A1P－C的平面角的余弦值为
3
？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由. 4
(1)证明 如图，∵AC＝AA1， ∴四边形AA1C1C为菱形，