依题意，A1C1∥OC且A1C1＝OC， 所以四边形A1OCC1为平行四边形， 所以A1O∥CC1，且A1O＝CC1. 所以A1O⊥底面ABCD.
以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 则A(23，0,0)，A1(0,0,4)，C1(－23，0,4)，B(0,2,0)， →
AB＝(－23，2,0).
----→1→
由A1B1＝AB，得B1(－3，1,4).
2因为E是棱BB1的中点， 所以E?－?
33?，，2， 22?
33→----→
所以EA1＝?，－，2?，A1C1＝(－23，0,0).
2??2设n＝(x，y，z)为平面EA1C1的法向量，
?
则?33→
n·EA＝x－y＋2z＝0，?22
1
----→n·A1C1＝－23x＝0，
取z＝3，得n＝(0,4,3)，
平面A1C1C的法向量m＝(0,1,0)，
又由图可知，二面角E－A1C1－C为锐二面角， 设二面角E－A1C1－C的平面角为θ， |m·n|4则cos θ＝＝，
|m||n|5
4
所以二面角E－A1C1－C的余弦值为.
5
跟踪演练2 (2019·河南名校联盟联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠PAB＝90°，AB∥CD，且PB＝BC＝BD＝6，CD＝2AB＝22，∠PAD＝120°.E和F分别是棱CD和PC的中点.
(1)求证：CD⊥BF；
(2)求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值. (1)证明 ∵E为CD中点，CD＝2AB， ∴AB＝DE.
又AB∥CD，
∴四边形ABED为平行四边形. ∵BC＝BD，E为CD中点， ∴BE⊥CD，
∴四边形ABED为矩形， ∴AB⊥AD.
由∠PAB＝90°，得PA⊥AB，
又PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD， ∴AB⊥平面PAD. ∵AB∥CD， ∴CD⊥平面PAD. 又PD?平面PAD， ∴CD⊥PD. ∵EF∥PD， ∴CD⊥EF.
又CD⊥BE，BE∩EF＝E，BE，EF?平面BEF， ∴CD⊥平面BEF. 又∵BF?平面BEF， ∴CD⊥BF.
(2)解 由(1)知AB⊥平面PAD.
以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，平面PAD内过点A且与AD垂直的线为z轴建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示. ∵∠PAD＝120°， ∴∠PAz＝30°.
又PB＝6，AB＝2，AB⊥PA， ∴PA＝2.
∴点P到z轴的距离为1.
∴P(0，－1，3)，同时知A(0,0,0)，B(2，0,0). 又BC＝BD＝6，CD＝22， ∴BE＝2.
∴C(22，2,0)，D(0,2,0).
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， →?PD＝?x，y，z?·?0，3，－3?＝0，?n·由?
→?CD＝?x，y，z?·?－22，0，0?＝0，?n·
?3y－3z＝0，得? ?－22x＝0.
令y＝1，则n＝(0,1，3). →
又PB＝(2，1，－3)，
设直线PB与平面PCD所成的角为θ. →
则sin θ＝|cos〈n，PB〉|
→|n·PB|26＝＝＝.
→2＋1＋3×1＋36|n|·|PB|即直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为热点三 利用空间向量解决探索性问题
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题.处理原则是：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.
例3 (2019·临沂模拟)如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝1，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
6
. 6
(1)求证：AE⊥平面BCE；
(2)线段AD上是否存在一点M，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为试确定点M的位置；若不存在，请说明理由. (1)证明 ∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE， ∴BF⊥AE，
∵四边形ABCD是正方形，
3
？若存在，4
∴BC⊥AB，
又平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB， ∴CB⊥平面ABE， ∵AE?平面ABE， ∴CB⊥AE，
∵BF∩BC＝B，BF，BC?平面BCE， ∴AE⊥平面BCE.
(2)解 线段AD上存在一点M，当AM＝3时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为3. 4
∵AE⊥平面BCE，BE?平面BCE， ∴AE⊥BE，
在Rt△AEB中，AB＝2，AE＝1， ∴∠ABE＝30°，∠BAE＝60°，
以A为原点，建立空间直角坐标系A－xyz， 设AM＝h，则0≤h≤2， ∵AE＝1，∠BAE＝60°， ∴M(0,0，h)，E?
31?，，0，
?22?
B(0,2,0)，C(0,2,2)，
3133→→
所以ME＝?，，－h?，CE＝?，－，－2?，
2?22??2?设平面MCE的一个法向量n＝(x，y，z)， 3x1→
ME＝＋y－hz＝0，?n·22则?
3x3→
n·CE＝－y－2z＝0，?22令z＝2，解得n＝?
3??2＋3h?，h－2，2，
?3?
平面ABE的一个法向量m＝(0,0,1)，