的取值范围是 m<2 .

4.(2017内蒙古赤峰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).

备用图

(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;

(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;

(3)在抛物线上是否存在异于B,D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为2的坐标;若不存在请说明理由.

解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4.

,若存在求出点Q∵点B(3,0)在该二次函数的图象上, ∴0=a(3-1)2+4,解得:a=-1.

∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3. ∵点D在y轴上,所以可令x=0,解得:y=3. ∴点D的坐标为(0,3).

设直线BD的解析式为y=kx+3,把(3,0)代入得3k+3=0,解得:k=-1.

∴直线BD的解析式为y=-x+3.

（2）设点P的横坐标为m(m>0), 则P(m,-m+3), M(m,-m2+2m+3),

PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-, PM最大值为

(3)如图,过点Q作QG∥y轴交BD于点G,作QH⊥BD于点H,则QH=2

设Q(x,-x2+2x+3),则G(x,-x+3),

QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|. ∵△DOB是等腰直角三角形, ∴∠3=45°,∴∠2=∠1=45°. ∴sin∠1=得|-x2+3x|=4,

当-x2+3x=4时,Δ=9-16<0,方程无实数根.

当-x2+3x=-4时,解得:x1=-1,x2=4,Q1(4,-5),Q2(-1,0). 模拟预测

1.已知二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( D ) A.k<3

B.k<3,且k≠0 C.k≤3 D.k≤3,且k≠0

,∴QG=4.

2.若点M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在抛物线y=-x2+2x上,则下列结论正确的是( C ) A.y1

B.y2

(-2)2+2×(-2)=-2-4=-6, (-1)2+2×(-1)=--2=-2, 82+2×8=-32+16=-16.

D.y1

解:x=-2时,y1=-x2+2x=-x=-1时,y2=-x2+2x=-x=8时,y3=-x2+2x=-∵-16<-6<-2,∴y3

3.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3,则二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是( )

解析:∵x1+x2=4,∴-=4.

∴二次函数的对称轴为x=-=2. ∵x1·x2=3,

=3.

当a>0时,c>0,∴二次函数图象交于y轴的正半轴.

4.小明在用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:

x y

… … -2 -6 -1 -4 0 1 2 … … -2 -2 -2 根据表格中的信息回答问题:该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,y= -4 . 5.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为 k=0或k=-1. 6.抛物线y=-x2+bx+c的图象如图,若将其向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后的解析式为 .

解析:由题中图象可知,对称轴x=1, 所以 - =1,即b=2.

把点(3,0)代入y=-x2+2x+c,得c=3.

故原图象的解析式为y=-x2+2x+3,即y=-(x-1)2+4,然后向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得y=-(x-1+2)2+4-3,即y=-x2-2x. 答案:y=-x2-2x

7.如图①,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1,L2互称为“友好”抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条.

(1)如图②,已知抛物线L3:y=2x2-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标;

(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式,并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围;

(3)若抛物线y=a1(x-m)2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2(x-h)2+k,请写出

a1与a2的关系式,并说明理由.

解:(1)∵抛物线L3:y=2x2-8x+4,

∴y=2(x-2)2-4.

∴顶点为(2,-4),对称轴为x=2,

设x=0,则y=4,∴C(0,4).

∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为(4,4).

(2)∵以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点(2,-4),∴L4的解析式为

y=-2(x-4)2+4.∴L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4.

(3)a1=-a2,

理由如下:∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上,

∴可以列出两个方程

由①+②,得(a1+a2)(m-h)2=0,∴a1=-a2.