止，另一方获胜，形成一个比赛过程．
（1）已知中方动用了5名队员，取得了胜利，问这样的比赛过程有多少种？ （2）求由中方第8位选手获得最后胜利的概率.
解：（1）中方胜利时，双方共有8?5?13名队员参加了比赛，将他们按淘汰的顺序从左向右排列，则最右为中方5号，右第二个为韩方8号，从右第三个至最左，共11个位置上，有4个位置排中方队员，其余排韩方队员，每一种排法，对应一种比赛结果，故共有
4C11?330种．
7C144（2）p?8?.
C16154. 若7位同学站成一排
（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ （2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
762解：（1）解法一：（排除法）A7?A6?A2?3600；
5解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有A5种方法，此时他们留下六个位置（就称2为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有A6种方法，所以一共有52A5A6?3600种方法．
（2）先将其余四个同学排好有A4种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙
33三个同学分别插入这五个“空”有A5种方法，所以一共有A4A5＝1440种．
44【课后记】
第二课时排列组合问题的解题方法（二）
教学目标：
掌握几类特殊的排列问题的解决技巧.
教学重点：掌握“错位排列”、“圆桌排列”、“转化命题”等问题的解题技巧. 教学难点：如何应用“技巧”解题． 教学过程： 【例析技巧】
四.错位排列问题
n个不同元素排成一排，有m个元素（m?n）不排在相应位置的排列种数共有：
n1n?12n?23n?3mn?mAn?CmAn?1?CmAn?2?CmAn?3?????(?1)mCmAn?m. 0当n?m时，规定A0?0!?1，这个公式亦成立.
例7 五封标号为1～5的信放进5个编号为1～5的信笺里面，若信的编号与信笺的编号都不相同，一共有多少种不同放法.
解：这是著名的信封问题，很多著名数学家都研究过.瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：
用A、B、C??表示写着n位友人名字的信封，a、b、c??表示n份相应的写好的信.把错装的总数记为f(n).假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：
（1）b错装进A里，这时每种错装的其余部分都与a、b、A、B无关，应有f(n?2)种错装法.
（2）b错装进A、B之外的信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）信纸b、
c??装入（除B之外的）n?1个信封A、C??，显然这种错装方法有f(n?1)种.
错装的其余部分都与a、b、A、B无关，应有f(n?2)种错装法. 总之在a错装入B的错误之下，共有错装法f(n?1)?f(n?2)种. 装入D??的n?2种错误之下，同样都有f(n?1)?f(n?2)种错装法. 因此f(n)?(n?1)[f(n?1)?f(n?2)]，显然f(1)?0，f(2)?1. 由此可得f(5)?44.
注意：用容斥原理亦可解决此题. 普遍结论为错排公式1：f(n)?n![1?1111???????(?1)n]. 1!2!3!n!错排递推公式2： f(n)?(n?1)[f(n?1)?f(n?2)]
错排公式3：An?CmAn?1?CmAn?2?CmAn?3?????(?1)CmAn?m
例8 有5个人站成一排，其中A不站第一位，B不站第二位，C不站第三位，D不站
n1n?12n?23n?3mmn?m第四位，E不站第五位，共有多少种不同的站法.
解析：上面两例实际上可以看成n个不同元素中有m（m?n）错位排列的问题. 而这个问题是其特殊情况，即全错位排列问题.
514233241500共有A5?C5A4?C5A3?C5A2?C5A1?C5A0?44种（注意A0?0!?1）
例9 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来.然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡.则四张贺年卡不同的分配方式有
A.6种 B.9种 C.11种 D.23种 解析：由上面公式得：
413223140A4?C4A3?C4A2?C4A1?C4A0?9种，∴选择B答案.
因此可得到全错位排列的公式：
n个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，??，第n个元素不在第n位的排列数为：
n1n?12n?23n?3n0An?CnAn?1?CnAn?2?CnAn?3?????(?1)nCnA0
nn?12n?23n?3mn?m这实际上是公式An?C1(?1)mCmAn?m的特殊情况.这mAn?1?CmAn?2?CmAn?3?????个公式很有用，只要有特殊元素不站特殊位置的问题，都可以用这个公式很快得到解决，希望这个公式对大家有所帮助.
五. 圆桌排列
从n个不同元素中不重复的取出m（1?m?n）个元素排在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列.如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列是相同的.
特别的，当m?n时，n个不同元素作成的圆排列总数为(n?1)!.
证明：在圆周上任选一个位置排a1有n种排法，再选一个位置排a2有n?1种排法，?，最后一个位置排an有1种排法.而这n个人顺时针（或逆时针）挪动n次位置都是同一种排列.所以共有
n!?(n?1)!种排法. n例10 有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。问5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率是多少？( )
A. 在1‰到5‰之间 B. 在5‰到1%之间 C. 超过1% D. 不超过1‰
解：5对夫妇相邻而座，可以看做是五个大元素为桌而坐，所以有4!种坐法，而夫妇间又可以换位置，所以共有
4!?2?2?2?2?22??0.002. 故选：A.
9!945例11 博杰学习网竞赛小组“先进人物评比”最终圈定了n个人，需要确定最终的三个“先进人物”人选.方法是：这n个人排成一行，从第一名开始，1至3循环报数，凡报出3的就退出，余下的向前靠拢，按此规律重复进行.直到第p次报数后，只剩下3个人为止.试问：这剩下的三个人，分别在队伍最初的什么位置？
解：设n个人的编号依次为1,2，?，n.最后剩下的三个人中，第三人的编号为bn.
nn个人，还剩n?个人.bn向前移33b3b?rnn动了bn?bk（k?n?）个人，前面淘汰了n?bn?rn（rn?1,2）个人.故bn?k.
3321其中当bk为奇数时，rn?1；否则，rn?2，每报一次号，人数减少（除不尽时取整）.
3因bn未被淘汰，故不是3的倍数.第一次报数后淘汰了
计算bn逐步归纳为减小的数列，最终划归到小情况.例如n?1000时，第三个人的初始位置是712.
例12 将圆分成n（n?2）个扇形，现用m（m?2）种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色且要求相邻的扇形不同色.问有多少种不同的染色方法？
解：设染色方法数为an.
（1）求初始值.当n?2时，给S1染色有m种方法，给S2染色有m?1种方法. 所以a2?m(m?1)；
（2）求递推关系. 给S1染色有m种方法，给S2染色有m?1种方法，给S3染色有m?1种方法，??，给Sn染色有m?1种方法.共有m(m?1)这种情况可以分为两类
一类是Sn与S1不同色，此时的染色方法种数是an；另一类是Sn与S1同色，Sn与S1可以合并为一个扇形，Sn?1与S1不同色，染色方法种数为an?1.由加法原理，得到
n?1种方法.
an?an?1?m(m?1)n?1（n?2）.
（3）求an.构造等比数列.结论：共有an?(m?1)?(?1)(m?1)种染色方法.
nn