第一课时 排列组合问题的解题方法（一）

教学目标：

掌握几类特殊的排列问题的解决技巧.

教学重点：掌握“条件排列”、“集团排列”、“间隔排列”、“部分顺序排列”问题的解题技巧.

教学难点：如何应用“技巧”解题． 教学过程： 【例析技巧】

一.集团排列问题：部分元素必须安排在一起（相邻）的排列问题，称之为“集团排列”问题.解决这类问题，常用“捆绑法”，其方法是先排“集团”内部的元素，再把这个大“元素”与其它元素一起排列即可.

例1 若7位同学站成一排

（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ （2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？ 解：（1）先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）

6一起进行全排列有A6种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A2种方法．所以这62样的排法一共有A6?A2?1440种.

253（2）方法同上，一共有A5?720种. A3（3）解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，

2有A5种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A4种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”2进行排列有A2种方法．所以这样的排法一共有A5A4A2?960种方法.

2424解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站

5在排头或排尾有2A5种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A6?2A5)?A2?960652种方法.

解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙

1不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A4种方法，再将其余的5个元

5素进行全排列共有A5种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有125?960种方法． A4A2A5（4）将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一

342起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：A3A4A2?288（种）

说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．

二. 间隔排列问题：部分元素不能安排在一起（间隔）的排列问题，称之为“间隔排列”问题.解决这类问题，常用“插空法”，其方法是先排不需要间隔的元素，再将需要间隔的元素通过插空的方式插进来即可.

例2 在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色.若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有（ ）

A.55. B.56. C.46. D.45.

1解：没有红牌，一种方法；有一块红牌，让其插空，有C8种方法；有二块红牌，让其234插空，有C7种方法；有三块红牌，让其插空，有C6种方法；有四块红牌，让其插空，有C51234种方法；共有方法1?C8?C7?C6?C5?55种.

说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．

例3 某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三

个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这显示屏可以显示的不同信号的种数有 种.

解：四个孔不亮，三个孔亮，相当于三个亮着的孔在四个不亮的孔之间插空，故有

3C5?2?2?2?80种方法.

三. 部分不同元素定序与部分相同元素排列问题：

部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为“定序排列”问题.解决这类问题的基本方法有三种.

（1）“消序法”（有些地方叫“整体法”），即若有m?n个元素排成一列，其中有m个

m?n元素之间的排列顺序不变，将这m?n个元素任意排成一列，共有Am?n种不同的排法，其

m中未定序的n个元素排在某一特定位置的排列的个数有Am种排法，但只有一个排列是我们m?nAm?n所需要的排列，因而共有种不同的排法.类似地还可推广到一般情形，如有有mAmm?n?k个元素排成一列，其中有m个元素之间的排列顺序不变，且另外k个元素之间的

m?n?kAm?n?k排列顺序也不变，则共有m中不同的算法. kAmAk（2）逐一插空法：先将定序的元素进行排列，再将其它元素逐一插入这组元素两端及中间.

（3）优序法：先将所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按规定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列.

例4 若5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法 （1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列.

5解：（1）先将男生排好，有A5种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包555括两端）中，有2A5种排法.故本题的排法有N?2A5； ?A5?28800（种）

10A105（2）方法1（消序法）：N?5?A10?30240；

A5方法2（逐一插空法）：5个女生按序排列，有1中方法，5个男生逐个插空，有6,7,8,9,10种方法，共有6?7?8?9?10?30240种方法.

5方法3（优序法）：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有A10种

排法；余下的5个位置排女生，因为女生的顺序已经指定，所以她们只有一种排法.

5故本题的结论为N?A10?1?30240（种）.

例5 今有2本相同的语文书，3本相同的数学书，4本相同的英语书排成一排，有多少种不同的排法？

9A9解：（消序法）有234?1260种.

A2A3A4例6 一个楼梯共18个台阶，12步登完，可一步登一个台阶，也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法？

解：根据题意，要想12步登完，只能6个一步登一个台阶，6个一步登二个台阶.因此，

12A12把问题转化为“相同元素”的排列问题.因此有66?924（种）.

A6A6点评：对于部分不同元素定序排列以及相同元素的排列问题，可用优序法. 【随堂练习】

1．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ）

A．40种

B．60种

C．100种

D．120种

2.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有210种.（用数字作答）

3．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字，且比20000大的五位偶数有（ ） A.288个 B.240个 C.144个 D.126个 4．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格 子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同， 则不同的涂色方法共有 390 种（用数字作答）．

5．某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案.（用数值作答）

6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 36 种．（用数字作答）

【课后作业】

1．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有240种．（用数字作答）

2．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai（i?1，2，?，6），若a1?1，． a3?3，a5?5，a1?a3?a5，则不同的排列方法有 30 种（用数字作答）解：分两步：（1）先排a1，a3，a5，当a1=2时，有2种；当a1=3时，有2种；当a1=4时，有1种，共有5种；（2）再排a2，a4，a6，共有A3?6种，故不同的排列方法种数为5×6=30，填30．

3.中韩两支围棋队各由8人组成，按事先排好的次序出场进行围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，??，直到有一方全部被淘汰为

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