2 函数项级数的相关概念介绍

2.1 函数列及其一致收敛性

定义1 设

f1,f2,?，fn,?

是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列，也可简单的写作：

{fn}或fn，n?1,2,?.

设x0?E，以x0代入{fn}可得数列

f1(x0),f2(x0),?，fn(x0),?

若数列{fn(x0)}收敛，则称函数列{fn}在点x0收敛，x0称为函数列{fn}的收敛点.若数列

{fn(x0)}发散，则称函数列{fn}在点x0发散.若函数列{fn}在数集D?E上每一点都收敛，则

称{fn}在数集D上收敛.这时D上每一点x，都有数列{fn(x)}的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数列{fn}的极限函数.若极限函数记作f，则有 limfn(x)?f(x)，x?D

n??或 fn(x)?f(x) (n??)，x?D. 使函数列{fn}收敛的全体收敛点集合，称为函数列{fn}的收敛域.

定义2 设函数列{fn}与函数f定义在同一数集D上，若对任给的正数?，总存在某一正整数N，使得当n?N时，对一切x?D，都有

fn(x)?f(x)??， 则称函数列{fn}在D上一致收敛于f，记作

fn(x)?f(x) (n??), x?D. 注：本文用“?”表示一致收敛.

由定义看到，如果函数列{fn}在D上一致收敛，那么对于所给的?，不管D上哪一点x，总存在公共的N(?)（即N的选取仅与?有关，与x的取值无关），只要n?N，都有

fn(x)?f(x)??.

2

由此可以看到函数列{fn}在D上一致收敛，必在D上每一点都收敛.反之，在D上每一点都收敛的函数列{fn}，在D上不一定一致收敛.

2.2 函数项级数及其一致收敛性

定义3 设{un(x)}是定义在数集E上的一个函数列， 表达式

u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…，x?E （1）

称为定义在E上的函数项级数，简记为

?un?1?n(x) 或?un(x)。称

Sn(x)??uk(x)，x?E，n?1,2,?

k?1n为函数项级数的部分和函数列。

若x0?E，数项级数

u1(x0)?u2(x0)???un(x0)?? （2） 收敛，即部分和Sn(x0)??uk?1nk(x0)当n??时极限存在，则称级数（1）在点x0收敛，x0称为

级数（1）的收敛点．若级数（2）发散，则称级数（1）在点x0发散.若级数（1）在E的某个子集

D上每点都收敛，则称级数（1）在D上收敛．若D为级数（1）全体收敛点的集合，这时则称D

为级数（1）的收敛域．级数（1）在D上每一点x与其所对应的数项级数（2）的和S(x)构成一个定义在D上的函数，称为级数（1）的和函数，并写作

u1(x)?u2(x)???un(x)???S(x)，x?D, 即

limSn(x)?S(x)，x?D．

n?? 也就是说，函数项级数（1）的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性．

定义4 设{Sn(x)}是函数项级数敛于函数S(x),则称函数项级数

?un(x)的部分和函数列．若{Sn(x)}在数集D上一致收

?un(x)在D上一致收敛于函数S(x)，或称?un(x)在D上一

致收敛(华东师范大学数学系，2001).

[2]

3

2.3 一致收敛函数项级数的性质

定理1 （连续性）若函数项级数和函数在?a,b?上也连续.

它指出：（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序，即

?un(x)在区间?a,b?上一致收敛，且每一项都连续，则其

?(limux?x0n(x))?lim(?un(x)).

x?x0定理2 (逐项求积)若函数项级数

?un(x)在?a,b?上一致收敛，且每一项un(x)都连续，则

ba??baun(x)dx???un(x)dx.

此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与求积分运算可以交换顺序. 定理3 (逐项求导)若函数项级数

?un(x)在?a,b?上每一项都有连续的导函数，x?[a,b]为

?u的收敛点，且u(x)?n(x)在?a,b?上一致收敛，则 ?n

?(dxudn(x))?d(?un(x)). dx此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与微分运算可以交换顺序(陶桂秀，2005).

[3]

4

3 函数项级数的一致收敛性判别法

3.1 一般方法

判别函数项级数一致收敛既是数学分析中的一个重点,又是一个难点.一般的情况下,证明一致收敛会利用一致收敛的定义，即定义4来证明.

定义4的条件太强，函数项级数固定一点x?D,利用数列的性质得到以下定理：

定理4 （一致收敛的柯西准则）函数项级数

?unn(x)实际上是一个特殊数列.受此启发,

?u(x)在数集D上一致收敛的充要条件为：

对任给的正数?，总存在某正整数N，使得当n?N时，对一切x?D和一切正整数p，都有

Sn?p(x)?Sn(x)??

或 un?1(x)?un?2(x)???un?p(x)??.

此定理中当p?1时，得到函数项级数一致收敛的必要条件. 推论 函数项级数收敛于零.

设函数项级数在D上的和函数为S(x)，称

rn(x)?S(x)?Sn(x) 为函数项级数

?un(x)在数集D上一致收敛的必要条件为：函数列?un(x)?在D上一致

?un(x)的余项.

定理5 函数项级数

?un(x)在数集D上一致收敛于S(x)的充要条件是：

n??x?D limsuprn(x)?limsupS(x)?Sn(x)?0.

n??x?D证明 必要性 因为

?un(x)在区间D上一致收敛,所以???0，?N?0，使得当n?Nx?D时，对一切x?D,都有Sn(x)?S(x)??，即rn(x)??，所以suprn(x)??，所以

limsuprn(x)?0.

n??x?D充分性 设

?un(x)在D上不一致收敛,即??0?0，?N?0,?n0?N,?x0?D，使得

x?Dn??x?DSn0(x0)?S(x0)??0，即suprn0(x)??0，所以limsuprn(x)?0.与已知矛盾(李岚，2003)[4].

例1 若fn(x)在?a,b?上可积，n?1,2,?且f(x)与g(x)在?a,b?上都可积，

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