函数项级数一致收敛性及其应用 下载本文

2 函数项级数的相关概念介绍

2.1 函数列及其一致收敛性

定义1 设

f1,f2,?,fn,?

是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列,也可简单的写作:

{fn}或fn,n?1,2,?.

设x0?E,以x0代入{fn}可得数列

f1(x0),f2(x0),?,fn(x0),?

若数列{fn(x0)}收敛,则称函数列{fn}在点x0收敛,x0称为函数列{fn}的收敛点.若数列

{fn(x0)}发散,则称函数列{fn}在点x0发散.若函数列{fn}在数集D?E上每一点都收敛,则

称{fn}在数集D上收敛.这时D上每一点x,都有数列{fn(x)}的一个极限值与之相对应,由这个对应法则所确定的D上的函数,称为函数列{fn}的极限函数.若极限函数记作f,则有 limfn(x)?f(x),x?D

n??或 fn(x)?f(x) (n??),x?D. 使函数列{fn}收敛的全体收敛点集合,称为函数列{fn}的收敛域.

定义2 设函数列{fn}与函数f定义在同一数集D上,若对任给的正数?,总存在某一正整数N,使得当n?N时,对一切x?D,都有

fn(x)?f(x)??, 则称函数列{fn}在D上一致收敛于f,记作

fn(x)?f(x) (n??), x?D. 注:本文用“?”表示一致收敛.

由定义看到,如果函数列{fn}在D上一致收敛,那么对于所给的?,不管D上哪一点x,总存在公共的N(?)(即N的选取仅与?有关,与x的取值无关),只要n?N,都有

fn(x)?f(x)??.

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由此可以看到函数列{fn}在D上一致收敛,必在D上每一点都收敛.反之,在D上每一点都收敛的函数列{fn},在D上不一定一致收敛.

2.2 函数项级数及其一致收敛性

定义3 设{un(x)}是定义在数集E上的一个函数列, 表达式

u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…,x?E (1)

称为定义在E上的函数项级数,简记为

?un?1?n(x) 或?un(x)。称

Sn(x)??uk(x),x?E,n?1,2,?

k?1n为函数项级数的部分和函数列。

若x0?E,数项级数

u1(x0)?u2(x0)???un(x0)?? (2) 收敛,即部分和Sn(x0)??uk?1nk(x0)当n??时极限存在,则称级数(1)在点x0收敛,x0称为

级数(1)的收敛点.若级数(2)发散,则称级数(1)在点x0发散.若级数(1)在E的某个子集

D上每点都收敛,则称级数(1)在D上收敛.若D为级数(1)全体收敛点的集合,这时则称D

为级数(1)的收敛域.级数(1)在D上每一点x与其所对应的数项级数(2)的和S(x)构成一个定义在D上的函数,称为级数(1)的和函数,并写作

u1(x)?u2(x)???un(x)???S(x),x?D, 即

limSn(x)?S(x),x?D.

n?? 也就是说,函数项级数(1)的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性.

定义4 设{Sn(x)}是函数项级数敛于函数S(x),则称函数项级数

?un(x)的部分和函数列.若{Sn(x)}在数集D上一致收

?un(x)在D上一致收敛于函数S(x),或称?un(x)在D上一

致收敛(华东师范大学数学系,2001).

[2]

3

2.3 一致收敛函数项级数的性质

定理1 (连续性)若函数项级数和函数在?a,b?上也连续.

它指出:(无限项)求和运算与求极限运算可以交换顺序,即

?un(x)在区间?a,b?上一致收敛,且每一项都连续,则其

?(limux?x0n(x))?lim(?un(x)).

x?x0定理2 (逐项求积)若函数项级数

?un(x)在?a,b?上一致收敛,且每一项un(x)都连续,则

ba??baun(x)dx???un(x)dx.

此定理指出,函数项级数在一致收敛的情况下,求和运算与求积分运算可以交换顺序. 定理3 (逐项求导)若函数项级数

?un(x)在?a,b?上每一项都有连续的导函数,x?[a,b]为

?u的收敛点,且u(x)?n(x)在?a,b?上一致收敛,则 ?n

?(dxudn(x))?d(?un(x)). dx此定理指出,函数项级数在一致收敛的情况下,求和运算与微分运算可以交换顺序(陶桂秀,2005).

[3]

4

3 函数项级数的一致收敛性判别法

3.1 一般方法

判别函数项级数一致收敛既是数学分析中的一个重点,又是一个难点.一般的情况下,证明一致收敛会利用一致收敛的定义,即定义4来证明.

定义4的条件太强,函数项级数固定一点x?D,利用数列的性质得到以下定理:

定理4 (一致收敛的柯西准则)函数项级数

?unn(x)实际上是一个特殊数列.受此启发,

?u(x)在数集D上一致收敛的充要条件为:

对任给的正数?,总存在某正整数N,使得当n?N时,对一切x?D和一切正整数p,都有

Sn?p(x)?Sn(x)??

或 un?1(x)?un?2(x)???un?p(x)??.

此定理中当p?1时,得到函数项级数一致收敛的必要条件. 推论 函数项级数收敛于零.

设函数项级数在D上的和函数为S(x),称

rn(x)?S(x)?Sn(x) 为函数项级数

?un(x)在数集D上一致收敛的必要条件为:函数列?un(x)?在D上一致

?un(x)的余项.

定理5 函数项级数

?un(x)在数集D上一致收敛于S(x)的充要条件是:

n??x?D limsuprn(x)?limsupS(x)?Sn(x)?0.

n??x?D证明 必要性 因为

?un(x)在区间D上一致收敛,所以???0,?N?0,使得当n?Nx?D时,对一切x?D,都有Sn(x)?S(x)??,即rn(x)??,所以suprn(x)??,所以

limsuprn(x)?0.

n??x?D充分性 设

?un(x)在D上不一致收敛,即??0?0,?N?0,?n0?N,?x0?D,使得

x?Dn??x?DSn0(x0)?S(x0)??0,即suprn0(x)??0,所以limsuprn(x)?0.与已知矛盾(李岚,2003)[4].

例1 若fn(x)在?a,b?上可积,n?1,2,?且f(x)与g(x)在?a,b?上都可积,

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