函数项级数的一致收敛性及其应用

摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了

无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用.

关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数

Uniformly Convergence Series of Functions and Application

Abstract: With the development of science and technology, elementary function has failed

to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidly with the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into being. Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions.

Key words: series of functions; uniformly convergence; series of powers

目 录

1 引言……………………………………………………………………………………………………1 2 函数项级数的相关概念介绍…………………………………………………………………………2 2.1 函数列及其一致收敛性………………………………………………………………………2

2.2 函数项级数及其一致收敛性…………………………………………………………………3 2.3 一致收敛函数项级数的性质…………………………………………………………………4 3 函数项级数的一致收敛性判别法……………………………………………………………………5

3.1 一般判别法……………………………………………………………………………………5 3.2 魏尔斯特拉斯判别法…………………………………………………………………………7 3.3 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法……………………………………………………………7 3.3.1 阿贝尔判别法……………………………………………………………………… 8 3.3.2 狄利克雷判别法…………………………………………………………………… 8 3.4 类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法…………………………………… 10 3.4.1 比式判别法…………………………………………………………………………10 3.4.2 根式判别法…………………………………………………………………………11 3.4.3 对数判别法…………………………………………………………………………12 3.5 Dini判别法…………………………………………………………………………………13 4 幂级数的应用……………………………………………………………………………………… 14

4.1 幂级数的定义……………………………………………………………………………… 14 4.2 幂级数的应用……………………………………………………………………………… 14 4.2.1 幂级数在近似计算中的应用………………………………………………………14 4.2.2 幂级数在计算积分中的应用………………………………………………………15 4.2.3 幂级数在求极限中的应用…………………………………………………………15 4.2.4 幂级数在数列求和中的应用………………………………………………………16 4.2.5 幂级数在欧拉公式推导中的应用…………………………………………………16 4.2.6 幂级数在求导中的应用……………………………………………………………17 4.2.7 幂级数在概率组合中的应用………………………………………………………17 4.2.8 幂级数在证明不等式中的应用……………………………………………………18 4.2.9 用幂级数形式表示某些非初等函数………………………………………………18 5 总结……………………………………………………………………………………………………19

致谢………………………………………………………………………………………………………20 参考文献…………………………………………………………………………………………………21

1 引言

随着科学技术的发展，人们对自然界的认识逐步深化，发现许多自然现象和工程技术运用初等函数已经满足不了人们的需要，因此要求人们去构造新的函数.自19世纪柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对其深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.首先函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地，例如，1872年魏尔斯特拉斯利用函数项级数给出了一个处处连续但处处不可导的函数的例子.其次，函数项级数理论提供了研究函数的一个基本方法，特别是利用级数的理论进行函数的Taylor展开和Fourier展开.实际上，函数项级数的一致收敛性理论对近代各种函数逼近理论以及无穷维空间中元素按基底的展开理论都产生了重大的影响(朱正佑,2001).函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数的一致收敛的相关概念、对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，并且以一类最简单的函数项级数——幂级数为例，对其在计算方面的应用进行举例说明.

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