[基础题组练]

x2

1．不等式Ax8＜6×A8的解集为( )

－

A．[2，8] C．(7，12)

B．[2，6] D．{8}

8！8！解析：选D.由题意得＜6×，所以x2－19x＋84＜0，解得7＜x

（8－x）！（10－x）！＜12.又x≤8，x－2≥0，所以7＜x≤8，x∈N*，即x＝8.

2．(2020·金华等三市部分学校高三期中)如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )

A．96 C．60

B．84 D．48

3解析：选B.法一：分三类：种两种花有A24种种法；种三种花有2A4种种法；种四种花

有A44种种法．

34

共有A24＋2A4＋A4＝84.

法二：按A－B－C－D顺序种花，可分A，C同色与不同色有4×3×(1×3＋2×2)＝84. 3．(2020·温州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是( )

A．540 C．360

B．480 D．200

1解析：选D.由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C15C5

1

A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C4＝4种满足题意的112选法，故满足题意的三位数共有C14×C5C5A2＝200(个)．

4．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种数为( )

A．36 C．108

B．72 D．144

解析：选B.3本数学书的放法有A33种，将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插

33法有2A33种，故同类书不相邻的放法有2A3A3＝2×6×6＝72(种)，故选B.

5．(2020·金华十校期末调研)A、B、C、D、E五个人参加抽奖活动，现有5个红包，每人各摸一个，5个红包中有2个8元，1个18元，1个28元，1个0元，(红包中金额相同视为相同红包)，则A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有( )

A．18种

B．24种

C．36种 D．48种

解析：选C.A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有三类： 即获奖的四人为：ABCD，ABCE，ABDE，

2

在每类情况中，获奖的情况有C24·A2＝12种，

所以由分步乘法原理得：A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有3×12＝36种． 6．某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为( )

A．484 C．252

B．472 D．232

2解析：选B.若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有C14C12＝264

种选法．若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一

3

个班，故有C312－3C4＝208种选法．故总共有264＋208＝472种不同的选法．

7．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为( )

A．30 C．54

B．42 D．56

3种取法，再减去三点共线的情解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C8

33形即可，即C38－C5－C4＝42.

8．(2019·宁波高考模拟)从1，2，3，4，5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数，则奇数位上必须是奇数的三位数的个数为( )

A．12 C．24

B．18 D．30

解析：选B.根据题意，要求奇数位上必须是奇数的三位数，则这个三位数的百位、个位为奇数，分2步进行分析：

2

①在1、3、5三个奇数中任选2个，安排在三位数的个位和百位，有C2 3A2＝6种情况，

②在剩余的3个数字中任选1个，将其安排在三位数的十位，有C13＝3种情况， 则奇数位上必须是奇数的三位数有6×3＝18个．

9．(2020·温州中学高三模拟)身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排法共有( )

A．12 C．16

B．14 D．18

解析：选B.从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1，2，3，4，5.要求1，

4不相邻．分四类：①先排4，5时，则1只有1种排法，2，3在剩余的两个位上，这样有

2A22A2＝4种排法；②先排3，5时，则4只有1种排法，2，1在剩余的两个位上，这样有2A22A2＝4种排法；③先排1，2时，则4只有1种排法，3，5在剩余的两个位上，这样有2A2④先排1，3时，则这样的数只有两个，即21534，43512，只有两种排法．综2A2＝4种排法；

上共有4＋4＋4＋2＝14种排法，故选B.

10．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素的个数为( )

A．60 C．120

B．90 D．130

解析：选D.设t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|，t＝1说明x1，x2，x3，x4，x5中有一个为－1或1，其他为0，所以有2×C15＝10个元素满足t＝1；t＝2说明x1，x2，x3，x4，x5中有两个为－1或1，其他为0，所以有C25×2×2＝40个元素满足t＝2；t＝3说明x1，x2，x3，x4，x5中有三个为－1或1，其他为0，所以有C35×2×2×2＝80个元素满足t＝3，从而，共有10＋40＋80＝130个元素满足1≤t≤3.

11．(2020·温州十五校联合体期末联考)用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2，5相邻，则这样的五位数的个数是________(用数字作答)．

解析：先把2，5捆挷有2种方法，再把它与4排列有2种排法，此时共有3个空隙供数字1、3插入有A23＝6种方法，故这样的五位数的个数是2×2×6＝24个．

答案：24

12．(2020·嘉兴市一中高考适应性考试)电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有________种．

解析：先排7个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，考虑三人的顺序，将3人插入6个空位中，则共有1×A36＝120种情况，由于甲必须1

坐在三人中间，则有符合要求的坐法有×120＝40(种)．

3

答案：40

13．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．

解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．

2－3)对，两个正四面体有(C2－3)×2对．又正一个正四面体中两条棱成60°角的有(C66

方体的面对角线中平行成对，所以共有(C26－3)×2×2＝48(对)．

答案：48

14．如图A，B，C，D为海上4个小岛，要建立3座大桥，将4个小岛连接起来，则不同的建桥方案有________种．

解析：法一：任2个岛之间建立1座桥，则共需C2现只建其中3座，有C34＝6座桥，6种

33

建法，但如图(1)这样的建桥方式是不合题意的，类似这样的情况有C34种，则共有C6－C4＝

16种建桥方案．

法二：依题意，满足条件的建桥方案分两类． 第一类，如图(2)，此时有C14种方法． 1

第二类，如图(3)，此时有A4＝12种方法．

24

由分类加法计数原理得，共有4＋12＝16种建桥方案． 答案：16

15．现从男、女共8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”“生态”“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么有男生________人、女生________人．

解析：设男、女同学的人数分别为m和n，则有，

???m＋n＝8，?m＋n＝8，?即?2 213?Cm·Cn·A3＝90，??Cm·C1?n＝15.

由于m，n∈N＋，则m＝3，n＝5. 答案：3 5

16．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种．

解析：程序A有A1将程序B和C看作元素集团与除A外的元素排列有A22＝2种结果，2

A44＝48(种)，所以由分步乘法计数原理得，实验顺序的编排共有2×48＝96种方法．

答案：96