高考专题数学归纳法 下载本文

全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)

由①②可知,Tn=对于一切n∈N*恒成立.

a1?a1+nd?

π*

14.(优质试题·扬州模拟)在数列{an}中,an=cosn-2(n∈N). 3×2(1)试将an+1表示为an的函数关系式;

2(2)若数列{bn}满足bn=1-(n∈N*),猜想an与bn的大小关

n·n!系,并证明你的结论.

π2π

解 (1)an=cos=cos n-2n-1

3×23×2π??

?cos?2=2?n-1?-1, 3×2??∴an=2a2n+1-1, ∴an+1=±

*

1

an+1

2,

an+12.

又n∈N,n+1≥2,an+1>0,∴an+1=1

(2)当n=1时,a1=-2,b1=1-2=-1,∴a1>b1, 111

当n=2时,a2=2,b2=1-2=2,∴a2=b2, 318

当n=3时,a3=2,b3=1-9=9,∴a3

①当n=3时,由上知,a3

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即ak<1-,

k·k!

2-

k·k!

2

2

2

则当n=k+1,ak+1==ak+1

2<

121-,bk+1=1-, k·k!?k+1?·?k+1?!

2??1?

???221-1-

?

要证ak+1

?

即证明1-<1-+

k·k!?k+1?·?k+1?!2??

??2??k+1?·?, ?k+1?!??

2??

??2

即证明-+??>0, ?k+1?·?k+1?!k·k!?k+1?·?k+1?!??

1

4

2??

??2

即证明 +??>0,显然成立. ?k+1?·?k+1?!k?k+1?·?k+1?!??∴n=k+1时,结论也成立.

综合①②可知:当n≥3时,an

综上可得,当n=1时,a1>b1;当n=2时,a2=b2; 当n≥3,n∈N*时,an

15.(优质试题·上饶模拟)已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn且1Tn=1-2bn.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

?k-1?2

1

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1

(2)设数列{an}的前n项和为Sn,试比较b与Sn+1的大小,并说明

n

理由.

解 (1)设an的首项为a1,

∵a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,

?a2+a5=12,∴?

a5=27,?a2·

∴an=2n-1.

?a1=1,

解得?

?d=2,

12

∵n=1时,b1=T1=1-2b1,∴b1=3. 11

n≥2时,Tn=1-2bn①,Tn-1=1-2bn-1②, 1

①-②得bn=3bn-1数列是等比数列. 2?1?n-12??∴bn=3·=3n. ?3?

1+?2n-1?22

(2)Sn=n=n,S=(n+1), +n1

21

以下比较b与Sn+1的大小:

n

131

当n=1时,b=2,S2=4,b

1

1

191

当n=2时,b=2,S3=9,b

2

2

1271

当n=3时,b=2,S4=16,b

331811

当n=4时,b=2,S5=25,b>S5,

441

猜想:n≥4时,b>Sn+1.

n

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下面用数学归纳法证明: ①当n=4时,已证.

1

②假设当n=k(k∈N,k≥4)时,b>Sk+1,

k

*

3k

即2>(k+1)2,那么,n=k+1时,

k+1313k22=2=3·>3(k+1)=3k+6k+3 2bk+1

=(k2+4k+4)+2k2+2k-1>[(k+1)+1]2=S(k+1)+1. 1

综合①②,当n≥4时,b>Sn+1.

n

16.(优质试题·合肥模拟)函数f(x)=x2-2x-3.定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.

(1)证明:2≤xn

解 (1)证明:用数学归纳法证明2≤xn

2-4

11

令y=0,解得x2=4,所以2≤x1

直线PQk+1的方程为y-5=(x-4),

xk+1-4