全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)
由①②可知,Tn=对于一切n∈N*恒成立.
a1?a1+nd?
π*
14.(优质试题·扬州模拟)在数列{an}中,an=cosn-2(n∈N). 3×2(1)试将an+1表示为an的函数关系式;
2(2)若数列{bn}满足bn=1-(n∈N*),猜想an与bn的大小关
n·n!系,并证明你的结论.
π2π
解 (1)an=cos=cos n-2n-1
3×23×2π??
?cos?2=2?n-1?-1, 3×2??∴an=2a2n+1-1, ∴an+1=±
*
1
an+1
2,
an+12.
又n∈N,n+1≥2,an+1>0,∴an+1=1
(2)当n=1时,a1=-2,b1=1-2=-1,∴a1>b1, 111
当n=2时,a2=2,b2=1-2=2,∴a2=b2, 318
当n=3时,a3=2,b3=1-9=9,∴a3 ①当n=3时,由上知,a3 全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解) 即ak<1-, k·k! 2- k·k! 2 2 2 则当n=k+1,ak+1==ak+1 2< 121-,bk+1=1-, k·k!?k+1?·?k+1?! 2??1? ???221-1-?, ?k+1?·?k+1?!k·k!????4 ? 要证ak+1 ? 即证明1-<1-+ k·k!?k+1?·?k+1?!2?? ??2??k+1?·?, ?k+1?!?? 2?? ??2 即证明-+??>0, ?k+1?·?k+1?!k·k!?k+1?·?k+1?!?? 1 4 2?? ??2 即证明 +??>0,显然成立. ?k+1?·?k+1?!k?k+1?·?k+1?!??∴n=k+1时,结论也成立. 综合①②可知:当n≥3时,an 综上可得,当n=1时,a1>b1;当n=2时,a2=b2; 当n≥3,n∈N*时,an 15.(优质试题·上饶模拟)已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn且1Tn=1-2bn. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; ?k-1?2 1 全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解) 1 (2)设数列{an}的前n项和为Sn,试比较b与Sn+1的大小,并说明 n 理由. 解 (1)设an的首项为a1, ∵a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根, ?a2+a5=12,∴? a5=27,?a2· ∴an=2n-1. ?a1=1, 解得? ?d=2, 12 ∵n=1时,b1=T1=1-2b1,∴b1=3. 11 n≥2时,Tn=1-2bn①,Tn-1=1-2bn-1②, 1 ①-②得bn=3bn-1数列是等比数列. 2?1?n-12??∴bn=3·=3n. ?3? 1+?2n-1?22 (2)Sn=n=n,S=(n+1), +n1 21 以下比较b与Sn+1的大小: n 131 当n=1时,b=2,S2=4,b 1 1 191 当n=2时,b=2,S3=9,b 2 2 1271 当n=3时,b=2,S4=16,b 331811 当n=4时,b=2,S5=25,b>S5, 441 猜想:n≥4时,b>Sn+1. n 全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解) 下面用数学归纳法证明: ①当n=4时,已证. 1 ②假设当n=k(k∈N,k≥4)时,b>Sk+1, k * 3k 即2>(k+1)2,那么,n=k+1时, k+1313k22=2=3·>3(k+1)=3k+6k+3 2bk+1 =(k2+4k+4)+2k2+2k-1>[(k+1)+1]2=S(k+1)+1. 1 综合①②,当n≥4时,b>Sn+1. n 16.(优质试题·合肥模拟)函数f(x)=x2-2x-3.定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标. (1)证明:2≤xn 解 (1)证明:用数学归纳法证明2≤xn 2-4 11