全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
由①②可知，Tn＝对于一切n∈N*恒成立．
a1?a1＋nd?
π*
14．(优质试题·扬州模拟)在数列{an}中，an＝cosn－2(n∈N)． 3×2(1)试将an＋1表示为an的函数关系式；
2(2)若数列{bn}满足bn＝1－(n∈N*)，猜想an与bn的大小关
n·n！系，并证明你的结论．
π2π
解 (1)an＝cos＝cos n－2n－1
3×23×2π??
?cos?2＝2?n－1?－1， 3×2??∴an＝2a2n＋1－1， ∴an＋1＝±
*
1
an＋1
2，
an＋12.
又n∈N，n＋1≥2，an＋1>0，∴an＋1＝1
(2)当n＝1时，a1＝－2，b1＝1－2＝－1，∴a1>b1， 111
当n＝2时，a2＝2，b2＝1－2＝2，∴a2＝b2， 318
当n＝3时，a3＝2，b3＝1－9＝9，∴a3 ①当n＝3时，由上知，a3 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解） 即ak<1－， k·k！ 2－ k·k！ 2 2 2 则当n＝k＋1，ak＋1＝＝ak＋1 2< 121－，bk＋1＝1－， k·k！?k＋1?·?k＋1?！ 2??1? ???221－1－ ? 要证ak＋1 ? 即证明1－<1－＋ k·k！?k＋1?·?k＋1?！2?? ??2??k＋1?·?， ?k＋1?！?? 2?? ??2 即证明－＋??>0， ?k＋1?·?k＋1?！k·k！?k＋1?·?k＋1?！?? 1 4 2?? ??2 即证明 ＋??>0，显然成立． ?k＋1?·?k＋1?！k?k＋1?·?k＋1?！??∴n＝k＋1时，结论也成立． 综合①②可知：当n≥3时，an 综上可得，当n＝1时，a1>b1；当n＝2时，a2＝b2； 当n≥3，n∈N*时，an 15．(优质试题·上饶模拟)已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn且1Tn＝1－2bn. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； ?k－1?2 1 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解） 1 (2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较b与Sn＋1的大小，并说明 n 理由． 解 (1)设an的首项为a1， ∵a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根， ?a2＋a5＝12，∴? a5＝27，?a2· ∴an＝2n－1. ?a1＝1， 解得? ?d＝2， 12 ∵n＝1时，b1＝T1＝1－2b1，∴b1＝3. 11 n≥2时，Tn＝1－2bn①，Tn－1＝1－2bn－1②， 1 ①－②得bn＝3bn－1数列是等比数列． 2?1?n－12??∴bn＝3·＝3n. ?3? 1＋?2n－1?22 (2)Sn＝n＝n，S＝(n＋1)， ＋n1 21 以下比较b与Sn＋1的大小： n 131 当n＝1时，b＝2，S2＝4，b 1 1 191 当n＝2时，b＝2，S3＝9，b 2 2 1271 当n＝3时，b＝2，S4＝16，b 331811 当n＝4时，b＝2，S5＝25，b>S5， 441 猜想：n≥4时，b>Sn＋1. n 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解） 下面用数学归纳法证明： ①当n＝4时，已证． 1 ②假设当n＝k(k∈N，k≥4)时，b>Sk＋1， k * 3k 即2>(k＋1)2，那么，n＝k＋1时， k＋1313k22＝2＝3·>3(k＋1)＝3k＋6k＋3 2bk＋1 ＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1. 1 综合①②，当n≥4时，b>Sn＋1. n 16．(优质试题·合肥模拟)函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标． (1)证明：2≤xn 解 (1)证明：用数学归纳法证明2≤xn 2－4 11