全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)n?n＋1?n2＋n＋2＝1＋2＝个区域．故选C. 2
7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三n?n＋1?121
角形数1,3,6,10，第n个三角形数为2＝2n＋2n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
11
三角形数N(n,3)＝2n2＋2n； 正方形数N(n,4)＝n2； 321
五边形数N(n,5)＝2n－2n； 六边形数N(n,6)＝2n2－n.
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝( ) A．500 B．1000 C．1500 D．2000 答案 B
3－224－3121
解析 由已知得，N(n,3)＝2n＋2n＝2n＋2n，N(n,4)＝n2
4－224－43215－224－5
＝2n＋2n，N(n,5)＝2n－2n＝2n＋2n，N(n,6)＝2n2－n6－224－6k－224－k
＝2n＋2n，根据归纳推理可得，N(n，k)＝2n＋2n.所以24－24－242
N(10,24)＝2×10＋2×10＝1100－100＝1000，故答案为1000.选B.
8．若数列{an}满足an＋5an＋1＝36n＋18，n∈N*，且a1＝4，猜想其通项公式为( )
A．3n＋1 B．4n C．5n－1 D．6n－2 答案 D
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解析 由a1＝4求得a2＝10，a3＝16，经检验an＝6n－2.故选D. 二、填空题
1111
9．设Sn＝1＋2＋3＋4＋…＋2n，则Sn＋1－Sn＝______. 答案
1111＋＋＋…＋ 2n＋12n＋22n＋32n＋2n
1111解析 Sn＋1＝1＋2＋3＋4＋…＋n1 2＋
Sn＋1－Sn＝n＋n＋n＋…＋nn. 2＋12＋22＋32＋2
10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则用n表示的f(n)＝________.
1
1
1
1
答案 3n2－3n＋1
解析 由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6， 推测当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，
所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋[f(n－2)－f(n－3)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.
又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，∴f(n)＝3n2－3n＋1.
11．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn
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－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝______.
n
答案 n＋1解析 由(S1－1)
2
2＝S1，得
1
S1＝2；
2
由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝3； 3
由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝4. 猜想Sn＝.
n＋1
12．(优质试题·云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13
＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为________．
?n?n＋1??2
? 答案 1＋2＋3＋…＋n＝?
2??
3
3
3
3
n
解析 由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23
＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n3
?n?n＋1???2
＝(1＋2＋3＋…＋n)＝???. 2??
2
三、解答题
13．(优质试题·河南期末)设等差数列{an}的公差d>0，且a1>0，111记Tn＝aa＋aa＋…＋. anan＋11223
(1)用a1，d分别表示T1，T2，T3，并猜想Tn； (2)用数学归纳法证明你的猜想．
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11
解 (1)T1＝aa＝；
12a1?a1＋d?
111?11?1?11?1?11?2
T2＝aa＋aa＝d?a－a?＋d?a－a?＝d?a－a?＝aa＝
?1?2?12?3?3?122313
；
a1?a1＋2d?
1111?11?1?11?1?11?1T3＝aa＋aa＋aa＝d?a－a?＋d?a－a?＋d?a－a?＝d
?1?2?32?3?4?122334
1??133
?－?＝＝； ?a1a4?a1a4a?a＋3d?11
由此可猜想Tn＝.
a1?a1＋nd?
1
(2)证明：①当n＝1时，T1＝，结论成立，
a1?a1＋d?②假设当n＝k时(k∈N*)时结论成立， 即Tk＝
，
a1?a1＋kd?
1
k
n
2
则当n＝k＋1时，Tk＋1＝Tk＋ ak＋1ak＋2＝
＋ a1?a1＋kd??a1＋kd?[a1＋?k＋1?d] a1?a1＋kd?[a1＋?k＋1?d]
＝. a1?a1＋kd?[a1＋?k＋1?d]a1[a1＋?k＋1?d]
?a1＋kd??k＋1?
k＋1
k[a1＋?k＋1?d]＋a1k
1
＝
＝
即n＝k＋1时，结论成立．