全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
2．(优质试题·珠海期末《)庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，反映这个命题本质的式子是( )
1111
A．1＋2＋22＋…＋2n＝2－2n 111B.2＋22＋…＋2n<1 111C.2＋22＋…＋2n＝1 111D.2＋22＋…＋2n>1 答案 B
11
解析 根据已知可得每次截取的长度构造一个以2为首项，以2为公比的等比数列，
1111
∵2＋22＋…＋2n＝1－2n<1，
111
故反映这个命题本质的式子是2＋22＋…＋2n<1. 故选B.
111
3．(优质试题·北京西城区期末)若不等式＋＋＋…n＋1n＋2n＋31
＋2n>a(n∈N*)恒成立，则a的取值范围为________．
1??
答案 ?－∞，2?
?
?
1
解析 设f(n)＝＋＋＋…＋2n，
n＋1n＋2n＋3111
则f(n＋1)＝＋＋…＋2n＋＋，
n＋2n＋32n＋12?n＋1?
1
1
111
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则f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－>0，
2n＋12?n＋1?n＋12n＋12n＋2∴数列f(n)是关于n(n∈N*)的递增数列， 1
∴f(n)≥f(1)＝2， ∵不等式
1111＋＋＋…＋2n>a(n∈N*)恒成立，∴a<2，故n＋1n＋2n＋31
11111
1??
?a的取值范围为－∞，2? ??
4．(优质试题·桥西期末)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时左边需增乘的代数式是________．
答案 4k＋2
解析 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时左边需增乘的代?k＋1＋k??k＋1＋k＋1?
数式是＝2(2k＋1)．
k＋1
故答案为4k＋2.
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一、选择题
1．(优质试题·安庆高三月考)用数学归纳法证明2n>n2(n≥5，n∈N*)，第一步应验证( )
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A．n＝4 B．n＝5 C．n＝6 D．n＝7 答案 B
解析 根据数学归纳法的步骤，首先要验证n取第一个值时命题成立，又n≥5，故第一步验证n＝5.故选B.
2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋
2
n?2n＋1?22
2＋1＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应3
添加的式子是( )
A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2
1
D.3(k＋1)[2(k＋1)2＋1] 答案 B
解析 由n＝k到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2＋k2.故选B. 3．(优质试题·沈阳调研)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开( )
A．(k＋3)3 C．(k＋1)3 答案 A
解析 假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故选A.
4．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A．30 B．26 C．36 D．6
B．(k＋2)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
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答案 C
解析 ∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)都能被36整除，猜想f(n)能被36整除．证明如下：当n＝1,2时，由以上得证．假设当n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)，∴f(k＋1)能被36整除．∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m的值为36.
5．(优质试题·泉州模拟)用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于( )
A．3k－1 B．3k＋1 C．8k D．9k 答案 C
解析 因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋(3k)＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故选C.
6．(优质试题·太原质检)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为 ( )
A．n＋1 n2＋n＋2
C. 2答案 C
解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)
B．2n D．n2＋n＋1