全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
1111
n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋
2×44×66×82k?2k＋2?
2?k＋1?[2?k＋1?＋2]
＝
＋
4?k＋1?4?k＋1??k＋2?＝
4?k＋1??k＋2?4?k＋1??k＋2?，
4[?k＋1?＋1]
k＋1k?k＋2?＋1
?k＋1?2
k
1
1
＝
＝即n＝k＋1时等式成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N*等式均成立． 题型2 用数学归纳法证明不等式
典例 已知数列{an}，当n≥2时，an<－1，又a1＝0，a2n＋1＋
*
an＋1－1＝a2n，求证：当n∈N时，an＋1 证明 (1)当n＝1时， 2 ∵a2满足a2＋a2－1＝0，且a2<0， ∴a1>a2. (2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1 222∵ak＋1－ak＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)，ak＋1 ak>0. 又ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1， ∴ak＋2－ak＋1<0， ∴ak＋2 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解） 即当n＝k＋1时，命题成立． 由(1)(2)可知，当n∈N*时，an＋1 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 1．适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． 2．关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明． 冲关针对训练 ?11?31 已知函数f(x)＝ax－2x2的最大值不大于6，又当x∈?4，2?时， ?? 1 f(x)≥8. (1)求a的值； 11 (2)设0 323?a?2a2 知f(x)＝ax－2x＝－2?x－3?＋6. ?? 2?a?a11??又f(x)max≤6，所以f3＝6≤6.所以a2≤1. ?? ?11?1又x∈?4，2?时，f(x)≥8， ? ? 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解） ?1?1??≥，?f??2?8 所以? ?1?1?≥，??f??4?8 ? a31??2－8≥8，即?a31??4－32≥8， 解得a≥1. 又因为a2≤1，所以a＝1. (2)证明：用数学归纳法证明： 1 ①当n＝1时，0 因为当x∈?0，2?时，0 ? 11 所以0 ②假设当n＝k(k≥2，k∈N)时，不等式0 由(1)知a＝1，f(x)＝x－2x， 31 因为f(x)＝x－2x2的对称轴为直线x＝3， 1????0，所以当x∈3?时，f(x)为增函数． ?1 所以由0 k＋1 ?1? ? 得0 ?? * 成立． k＋1 1 1 于是，0 31111－2·＋－＝－2 k＋1?k＋1?k＋2k＋2k＋2 1 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解） 1 <. 2 2?k＋1??k＋2?k＋2 所以当n＝k＋1时，原不等式也成立． 根据①②，知对任何n∈N*，不等式an< 成立． n＋1 1．(优质试题·武陵期末)用数学归纳法证明不等式 11 ＋ n＋1n＋2 1 k＋4 111 ＋…＋2n>24(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( ) 1 A．增加了一项 2?k＋1?11 B．增加了两项和 2k＋12?k＋1? 1 C．增加了B中两项，但又少了一项 k＋11 D．增加了A中一项，但又少了一项 k＋1答案 C 1 解析 当n＝k时，左端＝＋＋…＋2k， k＋1k＋2 111 那么当n＝k＋1时，左端＝＋…＋2k＋＋， k＋22k＋12?k＋1?故第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是增加了两项，同时减少了这一项．故选C. k＋1 1 11 1