全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
数学归纳法
[知识梳理] 数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 1．(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．
[诊断自测] 1．概念思辨
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( )
(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( )
42
n＋n
(3)用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n2＝2(n∈N*)时，
从n＝k到n＝k＋1左边应添加的项为(k＋1)2.( )
(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．教材衍化
(1)(选修A2－2P99B组T1)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角1
线为2n(n－3)条时，第一步检验n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
答案 C
解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.故选C.
11
(2)(选修A2－2P96T1)用数学归纳法证明不等式1＋2＋4＋…＋127*
(n∈N)成立时，其初始值至少应取( ) n－1>642
A．7 B．8 C．9 D．10 答案 B
1
1－2n1111
解析 左边＝1＋2＋4＋…＋n1＝＝2－n1，代入验证可1－－221－2知n的最小值是8.故选B.
3．小题热身
1111(1)已知f(n)＝n＋＋＋…＋n2，则( )
n＋1n＋211
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝2＋3 111
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝2＋3＋4 11
C．f(n)中共有n－n项，当n＝2时，f(2)＝2＋3 2
1
111
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝2＋3＋4 答案 D
解析 分母为首项为n，公差为1的等差数列，故f(n)共有n2－n1111111
＋1项，当n＝2时，n＝2，n2＝4，故f(2)＝2＋3＋4.故选D.
(2)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________
全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
时，命题亦真．
答案 2k＋1
解析 由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.
题型1 用数学归纳法证明恒等式
1111111
典例 求证：1－2＋3－4＋…＋－＝＋＋…2n－12nn＋1n＋21
＋2n(n∈N*)．
1111
证明 (1)当n＝1时，左边＝1－2＝2，右边＝＝2.左边＝右
1＋1边．
111111
(2)假设n＝k时等号成立，即1－2＋3－4＋…＋－2k＝
2k－1k＋111
＋＋…＋2k， k＋2
则当n＝k＋1时，
11?11111?11??－1－2＋3－4＋…＋－2k＋?＝＋?
2k－1?2k＋12k＋2?k＋1k＋211?1???－＋…＋2k＋?? 2k＋12k＋2??
＝
＋＋…＋＋.
k＋2k＋32k＋12k＋21
1
1
1
即当n＝k＋1时，等式也成立．
全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
综合(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立． 方法技巧
数学归纳法证明等式的思路和注意点
1．思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
2．注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．
提醒：归纳假设就是证明n＝k＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法．
冲关针对训练 用数学归纳法证明：n
(其中n∈N*)．
4?n＋1?
11
证明 (1)当n＝1时，等式左边＝＝，
2×481
等式右边＝＝8，∴等式成立．
4?1＋1?(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立．
111k即＋＋…＋＝成立，那么当 2×44×62k?2k＋2?4?k＋1?
1
1111
＋＋＋…＋＝2×44×66×82n?2n＋2?