全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

数学归纳法

[知识梳理] 数学归纳法的定义

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 1．(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．

[诊断自测] 1．概念思辨

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( )

(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( )

42

n＋n

(3)用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n2＝2(n∈N*)时，

从n＝k到n＝k＋1左边应添加的项为(k＋1)2.( )

(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )

答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2．教材衍化

(1)(选修A2－2P99B组T1)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角1

线为2n(n－3)条时，第一步检验n等于( )

A．1 B．2 C．3 D．4

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答案 C

解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.故选C.

11

(2)(选修A2－2P96T1)用数学归纳法证明不等式1＋2＋4＋…＋127*

(n∈N)成立时，其初始值至少应取( ) n－1>642

A．7 B．8 C．9 D．10 答案 B

1

1－2n1111

解析 左边＝1＋2＋4＋…＋n1＝＝2－n1，代入验证可1－－221－2知n的最小值是8.故选B.

3．小题热身

1111(1)已知f(n)＝n＋＋＋…＋n2，则( )

n＋1n＋211

A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝2＋3 111

B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝2＋3＋4 11

C．f(n)中共有n－n项，当n＝2时，f(2)＝2＋3 2

1

111

D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝2＋3＋4 答案 D

解析 分母为首项为n，公差为1的等差数列，故f(n)共有n2－n1111111

＋1项，当n＝2时，n＝2，n2＝4，故f(2)＝2＋3＋4.故选D.

(2)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________

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时，命题亦真．

答案 2k＋1

解析 由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.

题型1 用数学归纳法证明恒等式

1111111

典例 求证：1－2＋3－4＋…＋－＝＋＋…2n－12nn＋1n＋21

＋2n(n∈N*)．

1111

证明 (1)当n＝1时，左边＝1－2＝2，右边＝＝2.左边＝右

1＋1边．

111111

(2)假设n＝k时等号成立，即1－2＋3－4＋…＋－2k＝

2k－1k＋111

＋＋…＋2k， k＋2

则当n＝k＋1时，

11?11111?11??－1－2＋3－4＋…＋－2k＋?＝＋?

2k－1?2k＋12k＋2?k＋1k＋211?1???－＋…＋2k＋?? 2k＋12k＋2??

＝

＋＋…＋＋.

k＋2k＋32k＋12k＋21

1

1

1

即当n＝k＋1时，等式也成立．

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综合(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立． 方法技巧

数学归纳法证明等式的思路和注意点

1．思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．

2．注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．

提醒：归纳假设就是证明n＝k＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法．

冲关针对训练 用数学归纳法证明：n

(其中n∈N*)．

4?n＋1?

11

证明 (1)当n＝1时，等式左边＝＝，

2×481

等式右边＝＝8，∴等式成立．

4?1＋1?(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立．

111k即＋＋…＋＝成立，那么当 2×44×62k?2k＋2?4?k＋1?

1

1111

＋＋＋…＋＝2×44×66×82n?2n＋2?