页眉 泛函分析知识点

知识体系概述

（一）、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子

1.距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d：X×X→R，使得?x,y,z?X,下列距离公理成立：

（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0?x=y; （2）对称性：d(x,y)=d(y,x);

（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);

则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作（X，d） 2.几类空间

例1 离散的度量空间 例2 序列空间S

例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X)

例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l2

第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球

定义 设（X,d）为度量空间，d是距离，定义

U(x0, ?)＝{x ∈X | d(x, x0)

为x0的以?为半径的开球，亦称为x0的?一领域. 2. 极限

定义 若{xn }?X, ?x?X, s.t. limd?xn,x??0 则称x是点列{xn }的极限.

n??3. 有界集

定义 若d?A??supd?x,y???，则称A有界

?x,y?A4. 稠密集

定义 设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令M表示M的闭包，如果E?M,那么称集M在集E中稠密，当E=X时称M为X的一个稠密集。 5. 可分空间

定义 如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。

第三节 连续映射

1.定义 设X=(X,d),Y=(Y, d)是两个度量空间，T是X到Y中映射，x0?X,如果对于任意给定的正数?，存在正数??0，使对X中一切满足

~ d?x,x0???的x，有

d?Tx,Tx0???~，

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页眉 则称T在

x0连续.

?~??Y,d??中的映射，那么T在x0是度量空间（X,d）到度量空间?2.定理1 设T

?X连续的充

要条件为当xn?x0?n???时，必有Txn?Tx0?n???

3.定理2 度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像T?1M是X中的开集.

第四节 柯西（cauchy）点列和完备度量空间

1.定义 设X=(X,d)是度量空间，?xn?是X中点列，如果对任意给定的正数??0，

存在正整数N?N???,使当n,m>N时，必有

d?xn,xm???，

则称?xn?是X中的柯西点列或基本点列。如果度量空间（X,d）中每个柯西点列都在 （X,d）中收敛，那么称（X,d）是完备的度量空间.

【注意】（1）Q不是完备集 （2）R完备

（3）cauchy列不一定收敛，但收敛列一定是cauchy列. （4）C[a,b]完备

2.定理 完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X中的闭子空间. 第五节 度量空间的完备化

1.定义 设（X,d）,( X,d)是两个度量空间，如果存在X到X上的保距映射T，即d?Tx,Ty??d?x,y?，则称（X,d）和( X,d)等距同构，此时T称为X到X上等距同构映射。

2.定理1（度量空间的完备化定理） 设X=（X,d）是度量空间，那么一定存在一完

~~~~n~~~~~~备度量空间X=( X,d)，使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同

构意义下是唯一的，即若( X,d)也是一完备度量空间，且X与X的某个稠密子空间等距同构，则( X,d)与( X,d)等距同构。

3.定理1’ 设X=（X,d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间X=( X,d)，

~~~~~^^~~~^^使X为X的稠密子空间。

第六节 压缩映射原理及其应用

1.定义 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数?，0

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~页眉 所有的x,y?X,

d?Tx,Ty???d?x,y?,

则称T是压缩映射。

2.定理1（压缩映射定理）（即Barnach不动点定理） 设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Tx=x,有且只有一个解）. 补充定义：若Tx=x,则称x是T的不动点。

x是T的不动点?x是方程Tx=x的解。 3.定理2 设函数f?x,y?在带状域 a?x?b,???y??

中处处连续，且处处有关于y的偏导数fy?x,y?.如果还存在常数m和M满足

' 0?m?fy?x,y??M,m?M,

'则方程f?x,y??0在区间?a,b?上必有唯一的连续函数y???x?作为解： fx,??x??0,x??a,b?

??第七节 线性空间

1.定义1 设X是一非空集合，在X中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X中元素的乘法运算，满足下列条件：

（1）关于加法成为交换群，即对任意x,y?X，存在u?X与之相对应，记为u=x+y,称为x和y的和，满足 1）x?y?y?x；

2）?x?y??z?x??y?z?任何x,y,z?X；

3）在X中存在唯一元素?，使对任何x?X,成立x???x，称?为X中零元素； 4）对X中每个元素x，存在唯一元素x??X，使x?x???，称x?为x的负元素，记为?x； （2）对于X中每个元素x?X，及任意实数（或复数）a，存在元素u?X与之对应，记为u?ax，称为a与x的数积，满足 1）1x?x；

2）a(bx)??ab?x对任意实数（或复数）a和b成立； 3）?a?b?x?ax?bx,a?x?y??ax?by，

则称X按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，其中的元素称为向量。如果数积运算只对实数（复数）有意义，则称X是实（复）线性空间。

??例1 Rn,对Rn中任意两点x=(ξ1,ξ2,…,ξn ),y=(η1,η2,…,ηn)和任何实(复)数a,定义

x+y=(ξ1 +η1,ξ2 +η2,…,ξn +ηn), ax=(aξ1 ,aξ2,…,aξn).

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页眉 容易验证Rn按上述加法和数乘运算成实(复)线性空间.

2.定义2 设x1 ,x2,…,xn 是线性空间X中的向量,如果存在n个不全为零的数α1,α2,…,αn,使

α1 x1 +α2 x2 +…+αnxn =0, (1)

则称x1,x2 ,…,xn 线性相关,否则称为线性无关.

不难看出,x1,x2,…,xn 线性无关的充要条件为,若??ixi?0,

i?1n必有α1 =α2 =…=αn =0.

3.定义3 设M是线性空间X的一个子集,如果M 中任意有限个向量都线性无关,则称M 是X中线性无关子集.设M 和L为X中两个子集,若M 中任何向量与L中任何向量都线性无关,则称M和L线性无关.

4.定义4 设X是线性空间, M 是X中线性无关子集,如果·spanM= X,则称M 的基数为X的维数,记为dim X, M 称为X的一组基.如果M 的基数为有限数,则称X是有限维线性空间,否则称X是无限维线性空间.如果X只含零元素,称X为零维线性空间.

第八节 赋范线性空间和巴拿赫（Banach）空间

1.定义1 设X是实(或复)的线性空间,如果对每个向量x∈X,有一个确定的实数,记为‖x‖与之对应,并且满足:

1°‖x‖≥0,且‖x‖=0等价于x=0;

2°‖αx‖=|α|‖x‖其中α为任意实(复)数; 3°‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,x,y∈X,

则称‖x‖为向量x的范数,称X按范数‖x‖成为赋范线性空间. 2. 引理1(H?lder不等式) 设p>1, 在[a,b]上L可积,并且

11??1，f?Lp?a,b?,g?Lq?a,b?那么f(t)g(t)pq?baf?t?g?t?dt?fpgq

3引理2(Minkowski不等式) 设p≥1,f,g∈Lp[a,b],那么f+g∈Lp[a,b],并且成立不等式

‖f+g‖p ≤‖f‖p +‖g‖p

4.定理1 当p≥1时,Lp[a,b]按(6)中范数‖f‖p 成为赋范线性空间. 5.定理2 Lp [a,b](p≥1)是Banach空间.

6.定理3 设X是n维赋范线性空间,{e1,e2,…,en}是X的一组基,则存在常数M 和M′,使得对一切

x???kek

k?1n成立

?2? Mx????k??M?x.

?k?1?7.推论1 设在有限维线性空间上定义了两个范数‖x‖和‖x‖1 ,那么必存在常数M 和

M′,使得

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