【点评】本题考查等可能时间、相互独立事件的概率、频率分布直方图的理解以及利用频率分布直方图求平均数等知识、考查运算能力． 19．（12分）（2009?宁夏）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． （1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．
【专题】计算题；证明题；压轴题． 【分析】（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，
分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz，设底面边长为a，求出
高SO，从而得到点S与点C和D的坐标，求出向量明出OC⊥SD，则AC⊥SD；
（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量角为θ，则
和平面DAC的一个法向量
，设所求二面
与
，计算它们的数量积，从而证
，从而求出二面角的大小；
（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（Ⅱ）知设
，求出
，根据
是平面PAC的一个法向量，
，
可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC 【解答】证明：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD． 以O为坐标原点，
分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz如图． 设底面边长为a，则高于是
．
，
13
，
，
故OC⊥SD 从而AC⊥SD
（2）由题设知，平面PAC的一个法向量平面DAC的一个法向量
，
，
．
设所求二面角为θ，则，
所求二面角的大小为30°．
（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC． 由（Ⅱ）知且设则而
，
是平面PAC的一个法向量，
即当SE：EC=2：1时，
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强． 20．（12分）（2009?宁夏）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1． （1）求椭圆C的方程；
14
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】计算题；综合题．
=λ，求点M的
【分析】（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由椭圆的性质可得
2
从而解决．
（2）设M（x，y），其中x∈[﹣4，4]．由已知=λ及点P在椭圆C上，可得
=λ，整理得（16λ﹣9）x+16λy=112，其中x∈[﹣4，4]．再按照圆、椭
圆、双曲线、抛物线的方程讨论． 【解答】解：（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c， 由已知得
，解得a=4，c=3，
22222
所以椭圆C的方程为=1．
（2）设M（x，y），其中x∈[﹣4，4]． 由已知
2
=λ及点P在椭圆C上，可得
2
22
2
=λ，
2
整理得（16λ﹣9）x+16λy=112，其中x∈[﹣4，4]． ①λ=时，化简得9y=112． 所以点M的轨迹方程为y=±
（﹣4≤x≤4），轨迹是两条平行于x轴的线段．
2
②λ≠时，方程变形为=1，
其中x∈[﹣4，4]；
当0＜λ＜时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足﹣4≤x≤4的部分； 当＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足﹣4≤x≤4的部分； 当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质及其方程．考查分类讨论思想，是中档题．
21．（12分）（2009?宁夏）已知函数f（x）=（x+3x+ax+b）e． （1）如a=b=﹣3，求f（x）的单调区间；
3
2
﹣x
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（2）若f（x）在（﹣∞，α），（2，β）单调增加，在（α，2），（β，+∞）单调减少，证明：β﹣α＞6．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系． 【专题】证明题． 【分析】（1）对函数f（x）求导，利用导函数求解单调区间； （2）利用导函数的性质即函数的单调区间加以证明．
【解答】解：（Ⅰ）当a=b=﹣3时，f（x）=（x+3x﹣3x﹣3）e，
﹣x﹣x﹣x3223
故f′（x）=﹣（x+3x﹣3x﹣3）e+（3x+6x﹣3）e=﹣e（x﹣9x）=﹣x（x﹣3）（x+3）﹣x e
当x＜﹣3或0＜x＜3时，f′（x）＞0； 当﹣3＜x＜0或x＞3时，f′（x）＜0． 从而f（x）在（﹣∞，﹣3），（0，3）单调增加，在（﹣3，0），（3，+∞）单调减少； （Ⅱ）f′（x）=﹣（x+3x+ax+b）e+（3x+6x+a）e=﹣e[x+（a﹣6）x+b﹣a]．
3
由条件得：f′（2）=0，即2+2（a﹣6）+b﹣a=0，故b=4﹣a，
﹣x3
从而f′（x）=﹣e[x+（a﹣6）x+4﹣2a]． 因为f′（α）=f′（β）=0，
32
所以x+（a﹣6）x+4﹣2a=（x﹣2）（x﹣α）（x﹣β）=（x﹣2）（x﹣（α+β）x+αβ）． 将右边展开，与左边比较系数得，α+β=﹣2，αβ=a﹣2． 故
．，
3
2
﹣x
32﹣x
2﹣x﹣x3
又（β﹣2）（α﹣2）＜0，即αβ﹣2（α+β）+4＜0．由此可得a＜﹣6．
于是β﹣α＞6． 【点评】本题主要考查了利用导函数求解单调区间的问题，要求同学们掌握好导函数与函数的关系，以及导函数的性质． 22．（10分）（2009?宁夏）如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，切点分别为D，E，F，则∠EDF= 45 度．
【考点】圆的切线的性质定理的证明． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】连接OE、OF，易证得四边形OECF是正方形，由此可证得∠EOF=90°；由圆周角定理即可求得∠EDF的度数．
【解答】解：连接OE、OF，则OE⊥BC、OF⊥AC； 四边形OECF中，∠OEC=∠C=∠OFC=90°，OE=OF； ∴四边形OECF是正方形； ∴∠EOF=90°；
∴∠EDF=∠EOF=45°． 故答案为：45．
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