2018-2019学年全国高中数学联赛江苏赛区复赛

一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）

1.若数列?an?满足a1?2an1,an?1?,n?N?，则a2017的值为 ．最新试卷十年寒窗苦，23an?2最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。 踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

2.若函数f?x??x2?1x2?ax?b对于任意x?R都满足f?x??f?4?x?，则f?x?的最小值是 ．

3.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D,E分别是侧棱BB1,CC1上的点，EC?BC?2BD，则截面ADE与底面ABC所成的二面角的大小是 ．

????

4.若sinxsin2xsin3x?cosxcos2xcos3x?1，则x? ． 5. 设x,y是实数，则

2x?2y的最大值是 ． 442x?4y?96. 设an?1?2???n,n?N?,Sm?a1?a2???am,m?1,2,3,?,则S1,S2,?,S2017中能被2整除但不能被4整除的数的个数是 ．

y27. 在直角平面坐标系xOy中，F1,F2分别是双曲线x?2?1?b?0?的左、右焦点，过点

b2F1作圆x2?y2?1的切线，与双曲线左、右两支分别交于点A,B，若F2B?AB，则b的

值是 ．

8. 从正1680边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形，其中正多边形的个数为 ． 二、解答题

9.已知x,y?R，且x?y?2,x?y，求

2211的最小值. ?22?x?y??x?y?x2?y2?1的上顶点为A，不经过点A的直线l与10.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:3椭圆C交于P,Q两点，且AP?AQ?0.

（1）直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

（2）过P,Q两点分别作椭圆的切线，两条切线交于点B，求?BPQ面积的取值范围. 11.设函数fn?x??1?x?121x???xn. 2!n!?（1）求证：当x??0,???,n?N时，ex?fn?x?； （2）设x?0,n?N?，若存在y?R使得e?fn?x??x1xn?1ey，求证：0?y?x.

?n?1?!

2017年全国高中数学联赛江苏赛区

复赛参考答案与评分标准

加试

1. 已知圆O的内接五边形ABCDE中AD与BE相交于点F,CF的延长线交圆O于点

P，且AB?CD?BC?ED.

求证：OP?AE.

2.设x,y是非负实数，a?求a,b的值，

23.平面上2n个点?n?1,n?N?，无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意n?1条线

x?y,b?x?2?y?2，若a,b是两个不相邻的整数，

段染成红色.

求证：三边都为红色的三角形至少有n个. 4.设n为正整数，1?111a?????n， 23nbn?其中an,bn为互素的正整数，对素数p，令集合Sp?nn?N,pan，

??证明：对每一个素数p?5，集合Sp中至少有三个元素.

试卷答案

10 2. ?16 3. 45 4.k?,k?Z 302615.4 6.252 7.1?3 8.3432

1.

二、解答题

9.解：因为x?y?2，所以?x?y???x?y??4，

2222所以

111?11?22?? ???????x?y?x?y2222???x?y??x?y?4??x?y??x?y?????1?1?1?2?1. 4当x?2,y?0时，

11??1. 22?x?y??x?y?

所以

11的最小值为1. ?22?x?y??x?y?10.解：（1） 因为AP?AQ?0，所以AP?AQ.

直线AP,AQ与x轴平行时，P或Q与A重合，不合题意. 设PA:y?kx?1，则QA:y??1x?1. k将y?kx?1代入x2?3y2?3，得1?3k2x2?6kx?0.

??6k2,y??1. P1?3k21?3k26k6,yQ?1?2. 同理xQ?2k?3k?3所以xP??1?3k2?y?1??21?3k2x?6ky?yPx?xP所以，直线l:,即l:， ??22yQ?yPxQ?xP1?3k?yQ?1??21?3kxQ?6kk2?11x?. 化简得l:y?4k2直线l纵截距是常数?????????11??，故直线l过定点?0,??. 22??（2）由 （1） ，AP?6k1?k21?3k261?k2. ，同理，AQ?2k?32?k2k2?3?1?3k22??361?k?2?22222k?3?1?3kk?3??k2所以 PQ?361?k??2??1?3k2?2?1??361?k2k6?15k4?15k2??3k??4?10k2?3?2???1?.

2???????????2

136t2t2?122不妨设k?0，令t?k?，则t?2，可化得PQ?， 22k3t?4????6tt2?12. 即 PQ?23t?4设B?x0,y0?，则切点弦PQ的方程是x0x?3y0y?3，

k2?11x?上，所以y0??2， 又P,Q在l:y?4k2

3k2?1. 从而x0?2k?k?1?3??k???123t2???. 所以B到PQ的距离d?222t?12?k2?1?2??k???16??22??113t26tt2?129t3因此的面积S??d?PQ????. 222222t?123t?423t?4??令u?911. ，则0?u?，化得S?3t224u?3u??13时，4u?3u递增， 2913所以0?4u?3u?2，即S?，当且仅当u?，即t?2,k?1时，等号成立，

42当0?u?故?BPQ的面积S的取值范围是?,???. ?4?11.解： （1） 用数学归纳法证明如下：

（ⅰ）当n?1时，令f?x??e?f1?x??e?x?1，则f??x??e?1?0,x??0,???恒成

xxx?9?立，

所以f?x?在区间?0,???为增函数，

x又因为f?0??0，所以f?x??0，即e?f1?x?.

（ⅱ）假设n?k时，命题成立，即当x??0,???时，ex?fk?x?，

2kk?1则n?k?1时，令g?x??ex?fk?1?x??ex???1?x?2!x???k!x??k?1?!x??，

???111?则g??x??ex??1?x?函数，

??121?x???xk??ex?fk?x??0，所以g?x?在区间?0,???为增2!k!?又因为g?0??0，所以g?x??0,x??0,???恒成立，即ex?fk?1?x?,x??0,???， 所以n?k?1时，命题成立.