姓名 实验报告成绩

评语：

指导教师（签名） 年 月 日

说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。

实验一 方程求根

一、 实验目的

用各种方法求任意实函数方程f(x)?0在自变量区间[a，b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。 二、 实验原理 (1)、二分法

对方程f(x)?0在[a，b]内求根。将所给区间二分，在分点断是否f(x)?0；若是，则有根

x?x?b?a2判

b?a2。否则，继续判断是否f(a)?f(x)?0,

若是，则令b?x,否则令a?x。否则令a?x。重复此过程直至求出方程

f(x)?0在[a,b]中的近似根为止。

（2）、迭代法

将方程f(x)?0等价变换为x=ψ（x）形式，并建立相应的迭代公式

xk?1?ψ（x）。

（3）、牛顿法

若已知方程 的一个近似根x0，则函数在点x0附近可用一阶泰勒多项式p1(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)来近似，因此方程f(x)?0可近似表示为

f(x0)f(x0)?f'(x0)(x?x)?0设f'(x0)?0,则x?x0?f'(x0)。取x作为原方程新的近

似根x1，然后将x1 作为x0代入上式。迭代公式为：xk?1三、 实验设备：MATLAB 7.0软件 四、 结果预测

f(xk)?x0?f'(xk)。

（1）x11=0.09033 （2）x5=0.09052 （3）x2=0,09052 五、 实验内容

x（1）、在区间[0,1]上用二分法求方程e?10x?2?0的近似根，要求误差不

超过

0.5?10?3。

f(xk)?x0?f'(xk)，求方程ex?10x?2?0的

（2）、取初值x0?0，用迭代公式xk?1近似根。要求误差不超过

0.5?10?3。

x（3）、取初值x0?0，用牛顿迭代法求方程e?10x?2?0的近似根。要求误

差不超过

0.5?10?3。

六、 实验步骤与实验程序 （1） 二分法

第一步：在MATLAB 7.0软件，建立一个实现二分法的MATLAB函数文件agui_bisect.m如下：

function x=agui_bisect(fname,a,b,e) %fname为函数名，a,b为区间端点，e为精度 fa=feval(fname,a); %把a端点代入函数，求fa fb=feval(fname,b); %把b端点代入函数，求fb if fa*fb>0 error('两端函数值为同号'); end

%如果fa*fb>0，则输出两端函数值为同号 k=0 x=(a+b)/2

while(b-a)>(2*e) %循环条件的限制

fx=feval(fname,x);%把x代入代入函数，求fx

if fa*fx<0%如果fa与fx同号，则把x赋给b，把fx赋给fb b=x; fb=fx; else

%如果fa与fx异号，则把x赋给a，把fx赋给fa a=x; fa=fx; end

k=k+1 %计算二分了多少次

x=(a+b)/2 %当满足了一定精度后，跳出循环，每次二分，都得新的区间断点a和b，则近似解为x=(a+b)/2

end

第二步：在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0，即输入如下 >>fun=inline('exp(x)+10*x-2') >> x=agui_bisect(fun,0,1,0.5*10^-3) 第三步：得到计算结果，且计算结果为 k 0 1 x 0.50000000000000 0.25000000000000

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0.12500000000000 0.06250000000000 0.09375000000000 0.07812500000000 0.08593750000000 0.08984375000000 0.09179687500000 0.09082031250000 0.09033203125000 0.09033203125000

（2） 迭代法

第一步：第一步：在MATLAB 7.0软件，建立一个实现迭代法的MATLAB函数文件agui_main.m如下： function x=agui_main(fname,x0,e)

%fname为函数名dfname的函数fname的导数， x0为迭代初值 %e为精度，N为最大迭代次数(默认为100) N=100;

x=x0; %把x0赋给x，再算x+2*e赋给x0

x0=x+2*e; k=0;

while abs(x0-x)>e&k

k=k+1 %显示迭代的第几次 x0=x;

x=(2-exp(x0))/10 %迭代公式 disp(x)%显示x end

if k==N warning('已达到最大迭代次数');end %如果K=N则输出已达到最大迭代次数

第二步：在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0，即输入如下 >>fun=inline('exp(x)+10*x-2') >> x=agui_main(fun,0,1,0.5*10^-3) 第三步：得出计算结果，且计算结果为 k 1 2 3 4 5 以下是结果的屏幕截图

x 0.10000000000000 0.08948290819244 0.09063913585958 0.09051261667437 0.09051261667437

（3） 牛顿迭代法

第一步：第一步：在MATLAB 7.0软件，建立一个实现牛顿迭代法的MATLAB函数文件=agui_newton.m如下： function x=agui_newton(fname,dfname,x0,e)

%fname为函数名dfname的函数fname的导数， x0为迭代初值 %e为精度，N为最大迭代次数(默认为100) N=100;

x=x0; %把x0赋给x，再算x+2*e赋给x0 x0=x+2*e; k=0;

while abs(x0-x)>e&k

k=k+1 %显示迭代的第几次 x0=x;

x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);%牛顿迭代公式 disp(x)%显示x end

if k==N warning('已达到最大迭代次数');end %如果K=N则输出已达到最大迭代次数

第二步：在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0，即输入如下 >>fun=inline('exp(x)+10*x-2') >> dfun=inline('exp(x)+10')

>> x=agui_newton(fun,dfun,0,0.5*10^-3) 第三步：得出结果，且结果为 k 1 x 0.09090909090909

2 3 以下是结果的屏幕截图

0.09052510858339 0.09052510858339

七、 实验结果

（1）x11=0.09033 （2）x5=0.09052 （3）x2=0,09052 八、 实验分析与结论

由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果，我们可以得出这样的结论：二分法要循环k=11次，迭代法要迭代k=5次，牛

x顿法要迭代k=2次才能达到精度为0.5?10?3的要求，而且方程e?10x?2?0的精确解经计算，为0.0905250, 计算量从大到小依次是:二分法,迭代法,牛顿法。由此可知，牛顿法和迭代法的精确度要优越于二分法。而这三种方法中，牛顿法不仅计算量少，而且精确度高。从而可知牛顿迭代法收敛速度明显加快。可是迭代法是局部收敛的，其收敛性与初值x0有关。二分法收敛虽然是速度最慢，但也有自己的优势，可常用于求精度不高的近似根。迭代法是逐次逼近的方法,原理简单,但存在收敛性和收敛速度的问题。对与不同的题目，可以从三种方法的优缺点考虑用哪一种方法比较好。