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学科：数学

菱形

【基础知识精讲】

定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 定理1：四边都相等的四边形是菱形．

定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【重点难点解析】 1．菱形的性质

(1)菱形具有平行四边形的一切性质； (2)菱形的四条边都相等；

(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； (4)菱形是轴对称图形．

2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．

A．重点、难点提示

1．理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好） 2．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法； 3．了解菱形的现实应用和常用的判别条件； 4．体会特殊与一般的关系． B．考点指要

菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一． 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质．除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质： ①菱形的四条边都相等； ②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起） ③每一条对角线都平分一组内角．（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起） 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴．（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段） 菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形） ①一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四条边都相等的四边形是菱形．

【难题巧解点拨】

例1：如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．

思路分析

由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等．

证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB， ∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．

（这是略证，并不是完整的证明过程） ∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴EF∥AD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行） ∴∠CEF=∠AGE，（两直线平行，内错角相等） ∴∠CEA=∠AGE， ∴AE=AG，

∴EF∥AG，且EF=AG，

∴四边形AEFG是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 又∵AE=EF，

∴平行四边形AEFG是菱形．

例2：已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数．

已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm．求∠ADC、∠ABC、∠BCD、∠DAB的度数． 思路分析

利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25．

解：在菱形ABCD中， ∵AB=BC=CD=DA，

又AB+BC+CD+DA=20cm， ∴AB=BC=CD=DA=5cm，

又∵AC=5cm，

∴AB=BC=AC，CD=DA=AC，

∴△ABC和△DAC都是等边三角形，

（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）

∴∠ADC=∠ABC=60°，∠BCD=∠DAB=120°．

例3：如图4-26，在平行四边形ABCD中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求证：四边形ABEF是菱形．

证法一：∵AF∥BE，

∴∠FAE=∠AEB （两直线平行，内错角相等） 又∵∠BAE=∠FAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE．（等角对等边） 同理，AB=AF，BE=EF， ∴AB=BE=EF=AF， ∴四边形ABEF是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形） 证法二：∵AF∥BE， ∴∠FAE=∠AEB， 又∵∠BAE=∠FAE，

∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE． 又∵∠FBA=∠FBE， ∴AO=OE，AE⊥FB，（等腰三角形三线合一） 同理，BO=OF，

∴四边形ABEF是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形） （你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）

例4：菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________． 思路分析

本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：

解法一：如图4-27，

∠B：∠A=1：2，

∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，

∴∠A+∠B=180°，

∴∠B=60°，∠A=120°， 过A作AE⊥BC于E， ∴∠BAE=30°，

?BE? ?AE?1（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半） AB?1，

2（勾股定理） AB2?BE2?22?12?3，

?S菱形ABCD?BC?AE?23．（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高） 解法二：如图4-28，

∠B∶∠A=1∶2，

∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，

∴∠A+∠B=180°，

∴∠B=60°，∠A=120°， 连结AC、BD交于点O，

??ABD?1?B?30?，AC⊥BD． 21AB?1， 2 （菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直） 在Rt△ABO中，AO? ?BO?AB2?AO2?22?12?3，

∴AC=2，BD?23， ?S菱形ABCD?11AC?BD??2?23?23． 22 答：菱形的面积为23．

【典型热点考题】

例1 如图4-13，已知菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数．