11k?2k??nk ∴lim=

n??k?1nk?1?1k?2k???nk1?，其中k为自然数 例4 求数列极限limn???k?1n????k?1?n?? 解 令an??k?1?(1k?2k???nk)?nk?1, bn??k?1?nk,由定理2可得

k?1kk?1anan?1?an????k?1(n?1)?n?n?1 lim ?lim?limkkn???bn???bn????k?1?[?n?1??n]nn?1?bn?k?1?k?nk?1?????k?1k??12?? ?lim? ?k?1n???2?k?1?kn?? 3、 利用压缩映射原理求数列极限.

此定理也是判断极限存在性定理，我们知道在空间的完备性保证了映射的不动点存在，同时压缩映射原理给出了求不动点的迭代法.在完备的度量空间中，从任意选取一点x0出发,逐次作点列 xn?1?f(xn) (n?1,2)，它必然逼近方程 f(x)?x的解，所以在求数列极限

时，由压缩映射f得到的数列 xn?1?f(xn)必收敛于f的不动点x.在利用压缩映射原理时必须保证｛xn｝是否保持在|f?(x)|?r?1成立的范围之内. 例5 设x1?0，xn?1? 解 令f?x??3(1?xn) ， (n?1,23?xn)求数列极限limxn

n??3?1?x?(x?0）可知 3?x xn?1?f(xn) (n?1,2又∵f?(x)?)

62 ?1 (x?0)故称f?(x)为压缩映射， ?23(3?x)由定理3可知数列｛xn｝收敛， 再对递推公式

xn?1? 例6 求数列2, 2+

3(1?xn)两边去极限可得 limxn=3 n??3?xn11，2?，

122?29

的极限

解 从序列特征可以看出,相邻两项的关系是xn?1?2?1 令

xnf?x??2?11((x?2),则xn?f(xn?1)(n?1,2,?).又f'?x???x?2),从而有2xx0?f'?x??式xn?1

1?1.故由定理3知f(x)称为压缩映射.由压缩映射原理, {xn}收敛.再对递推公41,两边取极限结合x?0得

limxn?1?2. ?2?nn???xn （二）、利用级数性质去求数列极限

1、 应用级数收敛的必要条件来求数列极。

级数的收敛的必要条件：若级数

un?0. ?un收敛，则 nlim??n?1? 应用这个结论求数列极限方法是把给定的数列通项看做某个级数的通项，然后用级数的敛散性判别法来判定级数的收敛性，若收敛，则数列极限为零

nn例7 求limn n??3n!nn 解 构造级数?n，这是正项级数.由正项级数的比值判别法可知

n?13n!?un?1(n?1)n?13nn! ??lim?limn?1?n?1

n??un??3(n?1)!nnnn 所以该级数收敛,故limn?0

n??3n! 例8 证明数列xn? 此极限.

解 当n?6时，可证

11?12?132?5?8(n?10) (n?1,2,3(3n?1))有极限，并求

n?10?1， 3n?1n?? 故｛xn｝当x?6时为单调递减，且有下界大于0.故limxn存在

再考虑正项级数

?xn，因为limn?1?xn?1n?111?lim??1，

n??xn??3n?23n10

由此可知级数

xn?0 ?xn收敛，∴ nlim??n?1?2、利用幂级数展开式求极限.

幂级数是一个无穷系列的和的形式，其部分和就是一个数列.有时为了解题方便。可以将数列极限看做某个极限的部分和.再利用逐项求积分的方法来求级数的和函数，这样能更简捷的求出数列极限.

例9 求极限 lim(?n??1a2?2a?n)， （a?1）. na?1 解 令x?,?|x|?1, 考虑级数?nxn，

an?1an?1(n?1)xn?1 ∵lim?lim?x?1,∴此级数收敛. nn??an??nxn 令 s(x)??nxn，则 s(x)?x??nxn?1n?1??n?1，再令f(x)??nxn?1,

n?1?

?0xf(t)???ntn?1o?xn?1dt??xn?n?1?x 1?x ∴ f(x)?(x1)??. 1?x(1?x)2xa?1? 而 s(x)?x?f(x)? 2?12(1?x)(1?a)12 ∴ lim(?2?n??aa[5]a?1n ?n) =s(x)??12(1?a)a3132132 例10 求极限lim[(?)??()??()?n??43454?(?1)n3n?()] 2n?14?2323(?1)n3n2n?1,()x 解 令 s(x)?? （收敛域为[]） 33n?12n?14(?1)n32n?1 =?[?()x]dx

0n?12n?14s?n1 =?[20xxn32n(?1)(x)]dx ?4n?1?11

x =

?013x233(?)dx??arctanx

22x24?3x2?33(?1)n3narctan()?? ∴ 当x?1时，则s(1)?? 222n?14n?13132132 ∴ [(?)??()??()?43454

33(?1)n3narctan?()]=? 222n?14（三）、利用定积分有关性质求数列极限.

1、利用定积分定义求解数列极限 定义2[6]：设f(x)是定义[a,b]上的一个函数，J是一个确定的实数.若对任给的正

数?，总存在某一个正数?1，使得对[a,b]的任何分割T，以及在某上任意选取的点集｛?i｝，只要||T||

?f(?i)?xi?J|

i?1n在[a,b]上的定积分.记为J=

?abf(x)dx.

应用定积分求数列极限就是把数列的通项看作是某个连续函数的某个区间的积分

11ni和.然后通过计算定积分的值以及数列的极限.其关键利用 lim?f()??f(x)dx

0n??nni?1

111???)

n??n?1n?2n?n111111??? 解 ∵=[??12n?1n?2n?nn1?1?nn 例11 求lim( =

?1n1?n]

1.?kn

k?11?nn1 令f(x)?

1 ， (0?x?1) 则f?x?在?0,1?上连续。所以可积 .则由定积 1?x分定义 , 则由定积分定义知：

1n111dx?lim?? ?01?xkn??nk?11?n12