因为limn??111? 所以lim(n2?n?n)=

n??2211??1n 例8 求limn??2n?1?1

2n?2?n2n?1?1(2n?1?1)(2n?2?n) ?limn??2n?2?n(2n?2?n)(2n?2?n) 解 ∵limn??4n2?6n?2?2n?2?2n2?n?n ?lim

n??n?24? ?limn??622211?2??2?2??nnnnnn 21?n ?2?2 2、利用裂项，求和等初等变形将数列化简，再求数列极限

例9 求lim（

n??

11??1?22?3??1）

n(n?1)?11? nn?1 解

11??1?22?31111?1????223n(n?1) ?1? 则lim（

n??1 n?111??1?22?3?11?lim(1?)=1

n(n?1)n??n?1132n?1?2??n）

n??222132n?1 解 令S??2?? ? n2221132n?1 则S?2?3??n?1 ?

2222S1222n?1 ?-?式，得??2??n?n?1

2222212n?1 故得 S?3?n?2? n22 例10 lim（

5

2n?1?3

n??n??2n?2n??2n132n?1 即 lim（?2??）?3 nn??222 所以limS?3?lim1?lim

1 （三）、利用公式lim(?1n??n 例11 求lim(1?m??n?)e求数列极限

1m) m1m1)?lim(1?)?n

m??n??mn1?1 ?[lim(1?)n]?1?e

n??n11 例12 求lim(1??2)n

n??nn 解 令m??n 则lim(1? 解 ∵lim(1?n??11n?)=lim[(1?n??nnn2n2n?1n?1n?1n2?n)]2

?e

（四）、利用归结原理求数列极限

通过此方法将数列极限转化为函数极限，然后在求极限

?? 归结原理:设f在U(x0;??)上有定义.limf(x)存在的充要条件是：对任何含于U(x0;??)x?x0且以x0为极限的数列｛xn｝，极限limf(xn)都存在且相等

x?x0例13 求limnsinn???n

解 因limnsinn???nsin?limx???x???1?0?0， ?xx 且数列｛n｝严格递增无上界. 由归结原则，可知limnsinn??n?n?0

a?nbn) ，（a?0,b?0） 例14 求 lim(n??2 解 (1) 当a,b有一为0时，比如a?0，则

6

a?nbnb)?limn?0?ab. ? lim(n??n??221ax?bxax?bxx)，则lny??ln (2) 当a?0,b?0时，令y?(

x221n1ax?bx2axlna?bxlnb?limx?() limlny?lim?lnx?0x?0xx?0a?bx22 ?lnab nax?bxxa?nbn)?ab ? )?ab，即有lim( ∴ lim(n??x?0221a?nbn)?ab 由 ?，?两式可得lim(n??2

n三 复杂数列极限求法

（一）、利用三大定理求数列极限.

对于一些较为复杂的数列，如递推数列，n项求和数列等等.则可以用以下方法求数列的极限.

1、利用单调有界定理.

使用本方法时，需验证数列｛an｝满足两个基本条件：（1）单调（递减或递增），（2）有界（有上界或有下界），此定理本身没有直接求出数列极限的值，所以是个存在性定理，在求解过程中结合解代数方程和极限保号性等，来求解数列极限.

例1 设x1?4，当n?2时.xn?1xn?1?xn?1，求limxn

n??2222xn?2?2xn2?xn解 显然xn?0，由于xn?1?xn? ?2xn2xn又因 xn?1xn?1?1xn?1xn?1??2 ?2xn?1227

所以xn?1?xn?0，即数列｛xn｝单调递减且有下界，故｛xn｝极限存在，令limxn?xn??

由递推关系式x?

1x?解得x?2.即limxn=2n??x2

2canc例2 设0?c?1,a1?， an?1??，求数列｛an｝极限

222[4] 解 先用数学归纳法可证 o?an?1 （n?1,2,3 再用数学归纳法证明

an?1?an （ n?1,2,3 显然a2?a1，假设ak?ak?1，则有 ak?1?ak?）. ? ）. ?

1122（ak?ak?1）=（ak?ak?1）（ak?ak?1）?0.

22n?? 从而?成立. 由?，?知｛an｝单调递增有上界，所以lim?l（存在）

cl2 ∴l??，其中l?1，∴liman?l?1?1?c n??22 2 、利用stolz定理去求解数列极限.

运用此方法时，要求我们能熟练的将一个数列拆分成两个较为简单的数列｛an｝，｛bn｝，然后判断数列｛an｝，｛bn｝是否符合stolz条件，若符合条件则可以用该方法去求解数列一些类似为n项数列求和的极限.

1k?2k??nk 例3 求数列极限lim，其中k为自然数. k?1n??n 解 由题意可令an?1k?2k??nk,bn?nk?1，由定理2可得

anan?1?an(n?1)k?lim lim=lim

n??bn??bn??(n?1)k?nk?1?bnn?1nk(n?1)1 ?lim?n????k?1?nk??k?18