引言

数列极限是极限理论的重要组成部分，在数学分析中，极限的思想和方法始终贯穿其中，同时极限方法是微积分学的基础，因此对于怎样求数列极限也显得尤其重要。一般简单的数列极限的求法在《数学分析》教材中都有介绍，但是课本中没有具体的将数列分成几类，针对不同的数列选择不同的方法去求解该数列极限.对于一些比较复杂的数列极限，一般方法就显得有些局限.为了解决此问题，本文具体的将数列分成几类，分别用不同的方法去求解数列极限

一 基础知识

（一） 、数列极限的思想

纵观古代数学发展，我国魏晋著名数学家刘徽在计算的圆的面积时就提出了“割之弥细。所之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失”他就提出通过增加圆内正边形的边数来逐渐逼近圆的面积。这就体现出了极限思想。古代哲学家庄周就说过“一尺之，棰，日取其半，万使不竭”如果我们把每天截下的部分长度为：

第一天截下

111，第二天截下2，……，第n天截下n……，从而我们就222得到一个数列

11,2,22,1,n2

1｝当n无限增大就会逐渐接近于0，从中我们可以看出数列｛an｝n21当n无限增大时，数列｛n｝就无限接近于一个常数a，则a称之为数列｛an｝的极限，但

2所以我们不难看出数列｛

这只是直观上的数列极限.我们应该衡量出当n充分大时，数列的通项an与常数a之差的绝对值，于是我们得出数列极限的准确定义

定义1 设{an}为数列，a为定数。若对于任给的正数?，总存在正整数N，使得当n>N时有|an?a|

（二） 、数列极限的有关定理.

1

定理1

[1] 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限. stolz定理：(1)设｛an｝是任意数列，｛bn｝严格递减趋于??则当

定理 2[2]an?1?ananan?1?an??,??lim?lim存在或为时.

n??bn??bn??b?b?bn?1nnn?1nlim (2)设｛an｝是趋于零的数列，｛bn｝严格递减趋于零.则当

an?1?ananan?1?an??,??lim?lim存在或为时.

n??bn??bn??b?b?bn?1nnn?1nlim定理3[3]压缩映射原理：设可f(x)可倒且|f?(x)|?r?1，其中r是常数，给定xo，令

xn?f(xn?1)(n?1,2),则数列｛xn｝收敛

定理4 迫敛性定理：设收敛数列｛an｝，｛bn｝都以a为极限，则数列｛cn｝满足： 存在整数N0,当n?N0时有an?cn?bn，则数列｛cn｝收敛

[1]limcn?a 且有n??二 简单数列极限求法

（一）、利用极限定义和性质求解数列极限 1、利用数列极限的定义求解数列极限

利用定义求数列极限主要要求我们对???0，作差an?a通过放缩或变形后找出所需N的要求.

例1 求lim1，（这里?为正数）

n??na11??0 nana解 由于

??1 故对任给的??0，只要取N??1??1，则当n?N时就有

????a?

11??? naNa2

所以 lim1?0。

n??na7n例2 求lim

n??n!7n77解 ∵ ??n!127n771 ?0??

n!6!n

7777777771??????? 78n?1n7!n6!n771???0，存在N?[?],则当n?N时，便有

6!?7n7717n ?0????，∴lim?0

n??n!n!6!n 2、利用极限的四则运算法则求数列极限

极限的四则运算法则：若｛an｝与｛bn｝为收敛数列，则｛an+bn｝，｛an-bn｝，｛an?bn｝也是收敛数列，且有 lim(an?bn)?liman?limbn，

n??n??n?? lim(an?bn)?liman?limbn.

n??n??n?? 例3 求lim(n3?n4?n5)

n?? 解 由四则运算法则可知lim(n3?n4?n5)=limn3?limn??nn??n??4?limn5 n??nn?? ?1?1?1?3 (lima?1,a?0)

(?2)n?3n 例4 求lim

n??(?2)n?1?3n?12(?)n?1(?2)?33?lim解 ∵lim n?1n?12nn??n??(?2)?3(?2)?(?)?332 又∵a?1，liman?0得lim(?)n?0

n??n??3nn 由四则运算法则可知lim(?2)?3n??(?2)n?1?3n?1nn2(?)n?113?lim?

2n??(?2)?(?)n?3333

3、利用迫敛性定理求解数列极限

通过放缩使数列通项夹在两个数列之间，使而得到数列通项所满足的不等式，然后利用迫敛去求一些数列极限.

例5 求极限lim(n??11??22n(n?1)n?11?2?2(2n)n?1) 2(2n)1n?1 ?22(2n)n 解 由题意可得

? 因为 limn?1n?1?lim?0

n??(2n)2n??n2 由迫敛性定理知 lim(n??11??22n(n?1)?1)?0 2(2n) 例6 求极限 lim(n??1n?1?2?1n?2?2?1?1n?n1n?2?22)

1n?n2 解：因为 1n?12n?1n?n2n?112???

? n?1n?212n?1 而 lim2

1n?12n???n?1n?n2??1，lim1n??

n?12?n?1n?22??1

所以由迫敛性定理知lim(n??n?12?1n?22??1n?n2)??1

（二）、利用数列变形化简求解数列极限

1、通过分子分母有理化将数列化简后来求解数列极限 例7 求lim(n?n?n)

n??2 解 ∵n?n?n?2nn2?n?n?1 11??1n4