∴BE是AF的中垂线∴BA=BF ∴BD平分?ABC

训练2. 已知，在正方形ABCD中，E在BD上，DG⊥CE于G，DG交AC于F.求证：OE=OF 【解析】 ∵ABCD是正方形

∴OD=OC ?DOC?90? ∵DG⊥CE ∴?DGC?90?

∴?DOC??DGC∵?OFD??GFC

∴?ODF??ECO

∴在△DOF和△COE中，

??DOF??COE??OD?OC??ODF??OCE?

∴△DOF≌△COE（ASA） ∴OE=OF

训练3. 已知：如图，△ABC中，AB?AC，?BAC?90°，D是BC的中点，AF?BE于G．求证：DH?DF A【解析】 ∵AB?AC，?BAC?90°，D是BC的中点

∴AD=BD=CD，AD⊥BC

E∴?ADB?90?

HG∵AF?BE

BDF∴?AGH?90?

∴?DBE??DAF

∴在△BDH和△ADF中， ??DBH??DAF??BD?AD??ADB??ADF? ∴△BDH≌△ADF（ASA） ∴DH=DF

训练4. 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且

EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

【解析】 在Rt△AEF和Rt△DEC中， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°，

∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，

AED∴∠AEF=∠ECD． 又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC ∴Rt△AEF≌Rt△DCE． F

BC

AOEBGFDCC

∴AE=CD． ∴AD=AE+4．

∵矩形ABCD的周长为32 cm， ∴2（AE+AE+4）=32． 解得AE=6 cm．

复习巩固

C题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习

【练习1】 如图，△ACB、△ECD均为等腰直角三角形，则图中与

△BDC全等的三角形为_________.

【解析】 △AEC

EADB【练习2】 如图，已知Rt△ABC中?ACB?90°，AC?BC，D是BC的中点，CE?AD，

垂足为E．BF∥AC，交CE的延长线于点F．求证：AC?2BF．

【解析】 ∵?ACB?90°，BF∥AC，

∴?ACD??CBF?90°， ?ADC??CAD?90°． ∵CE?AD，

∴?FCB??ADC?90°， ∴?CAD??FCB． 又∵AC?CB，

∴△ADC≌△CFB． ∴DC?FB．

∵D是BC的中点， ∴BC?2BF， 即AC?2BF． 题型二 三垂直模型 巩固练习

【练习3】 已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE =AD，

DF⊥AE，垂足为F．请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．

A D

【解析】 经探求，结论是：DF = AB．

证明如下：

F

B E C

∵四边形ABCD是矩形，

∴ ∠B=90?，AD∥BC， ∴ ∠DAF=∠AEB．

∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD =90?， ∵ AE = AD ，

∴△ABE≌△DFA． ∴ AB = DF．

CEAFDB

【练习4】 如图，△ABC中，AC?BC，?BCA?90°，D是AB上任意一点，

AE?CD交CD延长线于E，BF?CD于F．求证：EF?BF?AE．

【解析】 根据条件，?ACE、?CBF都与?BCF互余，

∴?ACE??CBF． 在△ACE和△CBF中，

AC?CB，?AEC??CFB?90°， ∴△ACE≌△CBF． 则CE?BF，AE?CF， ∴EF?CE?CF?BF?AE．

AEDFCB

【练习5】 四边形ABCD是正方形．

⑴如图1，点G是BC边上任意一点(不与B、C两点重合)，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：△ABF≌△DAE；

⑵在⑴中，线段EF与AF、BF的等量关系是(直接写出结论即可，不需要证明)； ⑶如图2，点G是CD边上任意一点(不与C、D两点重合)，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．那么图中全等三角形是，线段EF与AF、BF的等量关系是(直接写出结论即可，不需要证明)．

ADAD F

EFEG

BBCC G图1 图2

【解析】 ⑴在正方形ABCD中，AB=AD，?BAD?90°

∴?BAF??DAE?90°

??BAF??ABF?90?

∴?ABF??DAE 在△ABF和△DAE中 ??ABF??DAE,???AFB??DEA, ?AB?DA,?∴△ABF≌△DAE（AAS） ⑵EF?AF?BF ⑶△ABF≌△DAE

EF?BF?AF