全等三角形的经典模型(一) 下载本文

其余条件不变,试判断AC⊥C1E这一结论是否成立?若成立,给予证 明;若不成立,请说明理由.

EAA

EAEAEBC1CDBC1D(C)BC1DCC1BDC①②③④

【解析】 ⑴∵AB⊥BD,ED⊥BD

∴?B??D?90? 中 在△ABC与△CDE?AB?CD???B??D?BC?DE ?∴△ABC≌△CDE(SAS)

1??E ∴?∵?2??E?90?

∴?ACE?90?,即AC⊥CE

⑵图①②③④四种情形中,结论永远成立,证明方法与⑴完全类似,只要证明

△ABC≌△C1DE

∴?ACB??C1ED

∵?C1ED??DC1E?90?∴?DC1E??ACB?90?∴AC⊥C1E

典题精练

10?,?8,4?,点C在第一象限.求【例5】 正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为?0,正方形边长及顶点C的坐标.(计算应用:在直角三角形中,两条直角边的平方和

等于斜边的平方.)

yD

yDCACA1BG32FxBOxEO

【解析】 过点C作CG⊥x轴于G,过B作BE⊥y轴于E,并反向延长交CG于F

10?,?8,4?点A、B的坐标分别为?0,∴BE=8,AE=6,∴AB=10

∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC ∵?1??3?90??2??3?90?

1??2∴?

∵?AEB??BFC?90?

∴△AEB≌△BFC

∴CF=BE=8,BF=AE=6 ∴CG=12 EF=14

∴C(14,12),正方形的边长为10

【点评】 此题中三垂直模型:

?ABC?90?,AD∥BC,A【例6】 如图所示,在直角梯形ABCD中,

AB?BC,E是AB的中点,CE?BD.

MD⑴ 求证:BE?AD;

⑵ 求证:AC是线段ED的垂直平分线; ⑶ △DBC是等腰三角形吗?请说明理由.

EBC

【解析】⑴∵?ABC?90?,BD?EC,

?ABD??DBC?90?,∴?ECB??ABD, ∴?ECB??DBC?90?,∵?ABC??DAB?90?,AB?BC,

∴△BAD≌△CBE,∴AD?BE. ⑵∵E是AB中点,∴EB?EA

由⑴得:AD?BE,∴AE?AD

∵AD∥BC,∴?CAD??ACB?45?, ∵?BAC?45?,∴?BAC??DAC

由等腰三角形的性质,得:EM?MD,AM?DE 即AC是线段ED的垂直平分线. ⑶△DBC是等腰三角形,CD?BD

由⑵得:CD?CE,由⑴得:CE?BD ∴CD?BD,∴△DBC是等腰三角形.

【例7】 ⑴如图1,△ABC是等边三角形,D、E分别是AB、BC上的点,且BD=CE,连接

AE、CD相交于点P.请你补全图形,并直接写出∠APD的度数=; ⑵如图2,Rt△ABC中,∠B=90°,M、N分别是AB、BC上的点,且AM=BC、BM=CN,连接AN、CM相交于点P.请你猜想∠APM=°,并写出你的推理过程.

(2013平谷一模)

CC

NP

AABBM

图1图2

C【解析】 ⑴图略,60°

⑵45°

N PE

A证明:作AE⊥AB且AE?CN?BM. BM可证△EAM≌△MBC

∴ME?MC,?AME??BCM.

∵?CMB??MCB?90?,∴ ?CMB??AME?90?.

∴ ?EMC?90?.

∴ △EMC是等腰直角三角形,?MCE?45?. 又△AEC≌△CAN(SAS) ∴ ?ECA??NAC. ∴ EC∥AN.

∴ ?APM??ECM?45?.

思维拓展训练(选讲)

训练1. 已知:如图,△ABC中,AC=BC,?ACB?90?,D是AC上一点,AE⊥BD的延

1长线于E,并且AE?BD,求证:BD平分?ABC.

2

AA

EEDD

B BCFC【解析】 延长AE交BC的延长线于F

∵BE⊥AF,?ACB?90? ∴ ?FAC??DBC

∴在△AFC和△BDC中, ??FAC??DBC??AC?BC??ACF??BCD?

∴△AFC≌△BDC(ASA)

∴AF=BD 又∵AE?∴AE?1BD2 1AF?EF 2