其余条件不变，试判断AC⊥C1E这一结论是否成立？若成立，给予证 明；若不成立，请说明理由.

EAA

EAEAEBC1CDBC1D(C)BC1DCC1BDC①②③④

【解析】 ⑴∵AB⊥BD，ED⊥BD

∴?B??D?90? 中 在△ABC与△CDE?AB?CD???B??D?BC?DE ?∴△ABC≌△CDE（SAS）

1??E ∴?∵?2??E?90?

∴?ACE?90?,即AC⊥CE

⑵图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明

△ABC≌△C1DE

∴?ACB??C1ED

∵?C1ED??DC1E?90?∴?DC1E??ACB?90?∴AC⊥C1E

典题精练

10?，?8，4?，点C在第一象限．求【例5】 正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为?0，正方形边长及顶点C的坐标．（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和

等于斜边的平方.）

yD

yDCACA1BG32FxBOxEO

【解析】 过点C作CG⊥x轴于G，过B作BE⊥y轴于E，并反向延长交CG于F

10?，?8，4?点A、B的坐标分别为?0，∴BE=8，AE=6，∴AB=10

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC ∵?1??3?90??2??3?90?

1??2∴?

∵?AEB??BFC?90?

∴△AEB≌△BFC

∴CF=BE=8，BF=AE=6 ∴CG=12 EF=14

∴C(14，12)，正方形的边长为10

【点评】 此题中三垂直模型：

?ABC?90?，AD∥BC，A【例6】 如图所示，在直角梯形ABCD中，

AB?BC，E是AB的中点，CE?BD．

MD⑴ 求证：BE?AD；

⑵ 求证：AC是线段ED的垂直平分线； ⑶ △DBC是等腰三角形吗？请说明理由．

EBC

【解析】⑴∵?ABC?90?，BD?EC，

?ABD??DBC?90?，∴?ECB??ABD， ∴?ECB??DBC?90?，∵?ABC??DAB?90?，AB?BC，

∴△BAD≌△CBE，∴AD?BE． ⑵∵E是AB中点，∴EB?EA

由⑴得：AD?BE，∴AE?AD

∵AD∥BC，∴?CAD??ACB?45?， ∵?BAC?45?，∴?BAC??DAC

由等腰三角形的性质，得：EM?MD，AM?DE 即AC是线段ED的垂直平分线． ⑶△DBC是等腰三角形，CD?BD

由⑵得：CD?CE，由⑴得：CE?BD ∴CD?BD，∴△DBC是等腰三角形．

【例7】 ⑴如图1，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接

AE、CD相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD的度数=； ⑵如图2，Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC、BM=CN，连接AN、CM相交于点P．请你猜想∠APM=°，并写出你的推理过程．

（2013平谷一模）

CC

NP

AABBM

图1图2

C【解析】 ⑴图略，60°

⑵45°

N PE

A证明：作AE⊥AB且AE?CN?BM. BM可证△EAM≌△MBC

∴ME?MC，?AME??BCM.

∵?CMB??MCB?90?,∴ ?CMB??AME?90?.

∴ ?EMC?90?.

∴ △EMC是等腰直角三角形,?MCE?45?. 又△AEC≌△CAN（SAS） ∴ ?ECA??NAC. ∴ EC∥AN.

∴ ?APM??ECM?45?.

思维拓展训练(选讲)

训练1. 已知：如图，△ABC中，AC=BC，?ACB?90?，D是AC上一点，AE⊥BD的延

1长线于E，并且AE?BD，求证：BD平分?ABC.

2

AA

EEDD

B BCFC【解析】 延长AE交BC的延长线于F

∵BE⊥AF，?ACB?90? ∴ ?FAC??DBC

∴在△AFC和△BDC中， ??FAC??DBC??AC?BC??ACF??BCD?

∴△AFC≌△BDC（ASA）

∴AF=BD 又∵AE?∴AE?1BD2 1AF?EF 2