??1??3? ?AC?AB??ACM??BAD?90°?∴△ACM≌△BAD．
∴?M??ADB，AD?CM ∵AD?DC，∴CM?CD． 在△CMF和△CDF中， ?CF?CF???MCF??DCF?45° ?CM?CD?∴△CMF≌△CDF．∴?M??CDF ∴?ADB??CDF．
?ACB?90°，P为△ABC内部一点，满足 【例4】 如图，等腰直角△ABC中，AC?BC，PB?PC，AP?AC，求证：?BCP?15?．
A
DAPBCBPC
【解析】 补全正方形ACBD，连接DP，
易证△ADP是等边三角形，?DAP?60?，?BAD?45?， ∴?BAP?15?，?PAC?30?，∴?ACP?75?， ∴?BCP?15?．
【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下：
【探究一】证角等
【备选1】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M为AC中点，连结BM，作AD⊥BM
交BC于点D，连结DM，求证:∠AMB=∠CMD．
AEBDMCBAEDM12NC
【解析】 作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC，延长AD交CF于点N，
∵AN⊥BM，由正方形的性质，可得AN=BM，
易证Rt△ABM≌Rt△CAN，∴∠AMB=∠CND，CN=AM， ∵M为AC中点，∴CM=CN，
∵∠1=∠2，可证得△CMD≌△CND， ∴∠CND=∠CMD， ∴∠AMB=∠CMD．
【探究二】判定三角形形状
【备选2】如图，Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，AD=CE，AN⊥BD于点M，延长BD
交NE的延长线于点F，试判定△DEF的形状．
AFDMBNECBAFDMNECKFH
【解析】 作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC，
可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K， ∵AK⊥BD，可知AK=BD，易证:Rt△ABD≌Rt△CAK， ∴∠ADB=∠CKN，CK=AD， ∵AD=EC，∴CK=CE，
易证△CKN≌△CEN，∴∠CKN=∠CEN，
易证∠EDF=∠DEF，∴△DEF为等腰三角形．
【探究三】利用等积变形求面积
【备选3】如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，
且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE．
BGNBDEMDFECFACA
【解析】 作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰Rt△GCB，
可知四边形ABGC为正方形，分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M，
可知DN=EB=4，DM=FC=3， 由正方形对称性质，
可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·DN=3?4=12．
【探究四】求线段长
【备选4】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，CD=2，求AD的长．
AAFCDBCDGBE
【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽
管已知条件不是等腰直角三角形，但∵∠BAC=45°，若分别以AB、AC为对称轴作Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形．
【解析】 以AB为轴作Rt△ADB的对称的Rt△AEB，再以AC为轴作Rt△ADC的对称的
Rt△AFC．
可知BE=BD=3，FC=CD=2，
延长EB、FC交点G，∵∠BAC=45°， 由对称性，可得∠EAF=90°，且AE=AD=AF， 易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD， 设AD=x，则BG=x－3，CG=x－2，
在Rt△BCG中，由勾股定理，得?x?2???x?3??52， 解得x=6，即AD=6．
【探究五】求最小值
22【备选5】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AC的中点，P为斜边AB上
的动点，求PM+PC的最小值．
APMMAPDCBC
【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB，
可知四边形ACBD为正方形，连接CD，可知点C关于AB的对称点D，连接MD交AB于点P，连接CP，则PM+PC的值为最小，最小值为:PM+PC=DM=
B42?22?25．
题型二：三垂直模型
思路导航
常见三垂直模型
例题精讲
E【引例】
已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，⑴求证：AC⊥CE； A⑵若将△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，AB?C1D，
1BC2D