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全等三角形的 经典模型（一）

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题型一：等腰直角三角形模型

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等腰直角三角形数学模型思路：

⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC或90°，45?，45?）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4.

CC

45°45°BA ADB

图1 图2

图3图4

典题精练

【例1】 已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，?BAC?90°，O为BC的中点，

B⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要

求证明）

⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持 AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论. N⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． A【解析】 ⑴OA=OB=OC ⑵连接OA,

∵OA=OC?BAO??C?45°AN=CM ∴△ANO≌△CMO

∴ON=OM

∴?NOA??MOC

∴?NOA??BON??MOC??BON?90? ∴?NOM?90?

∴△OMN是等腰直角三角形

⑶△ONM依然为等腰直角三角形， 证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，O为BC中点 ∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°， ∴AO=BO=OC，

∵在△ANO和△CMO中， ?AN?CM???BAO??C ?AO?CO?BOMCONACMNBO∴△ANO≌△CMO（SAS）

∴ON=OM，∠AON=∠COM， 又∵∠COM?∠AOM=90°， ∴△OMN为等腰直角三角形．

【例2】 两个全等的含30?，60?角的三角板ADE和三角板ABC，如

图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD，取BD的

中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

【解析】△EMC是等腰直角三角形．

MACMDBEAC证明：连接AM．由题意，得

? DE?AC,?DAE??BAC?90?,?DAB?90.D∴△DAB为等腰直角三角形. ∵DM?MB，

∴MA?MB?DM,?MDA??MAB?45?． E∴?MDE??MAC?105?， ∴△EDM≌△CAM．

∴EM?MC,?DME??AMC．

又?EMC??EMA??AMC??EMA??DME?90?． ∴CM?EM，

∴△EMC是等腰直角三角形．

【例3】 已知：如图，△ABC中，AB?AC，?BAC?90°，D是AC的中

点，AF?BD于E，交BC于F，连接DF． 求证：?ADB??CDF． B【解析】 证法一：如图，过点A作AN?BC于N，交BD于M．

∵AB?AC，?BAC?90°， ∴?3??DAM?45°．

∵?C?45°，∴?3??C．

∵AF?BD，∴?1??BAE?90°

∵?BAC?90°，∴?2??BAE?90°． ∴?1??2．

在△ABM和△CAF中，

1B

??1??2?

?AB?AC ??3??C?

∴△ABM≌△CAF．∴AM?CF． 在△ADM和△CDF中， ?AD?CD???DAM??C ?AM?CF?∴△ADM≌△CDF． ∴?ADB??CDF．

证法二：如图，作CM?AC交AF的延长线于M． ∵AF?BD，∴?3??2?90°， ∵?BAC?90°， ∴?1??2?90°， ∴?1??3．

在△ACM和△BAD中，

MBACADEFCA32MENFDCA21EB3FMDC