专题六、解析几何（一）
直线和圆
1.直线方程：y?kx?t或ax?by?c?0
2.点关于特殊直线的对称点坐标：
（1）点A(x0,y0)关于直线方程y?x的对称点A?(m,n)坐标为：m?y0，n?x0；
m?y0?b，n?x0?b；（2） 点A(x0,y0)关于直线方程y?x?b的对称点A?(m,n)坐标为：
（3）点A(x0,y0)关于直线方程y??x的对称点A?(m,n)坐标为：m??y0，n??x0； （4）点A(x0,y0)关于直线方程y??x?b的对称点A?(m,n)坐标为：m??y0?b，n??x0?b；
3.圆的方程：无xy。 ?x?a???y?b??r或x?y?Dx?Ey?F?0D?E?4F?0，
2222222??
4.直线与圆相交：
（1）利用垂径定理和勾股定理求弦长:
弦长公式：l?2r2?d2（d为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后，化简为：ax?bx?c?0，其判别式为?，则 弦长公式（万能公式）：l?1?k2x1?x2?2x?x??1?k????2122?4x1x2? ?b2c? ?1?k2（?）?4?1?k2aaa注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可，
再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧，它可以简化运算，降低思考难度，在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程： （1）点在圆外：
如定点P?x0,y0?，圆：?x?a???y?b??r，[?x0?a???y0?b??r]
222222第一步：设切线l方程y?y0?k?x?x0?；第二步：通过d?r，求出k，从而得到切线方程，这里的切线方程的有两条。特别注意：当k不存在时，要单独讨论。 （2）点在圆上：
若点P?x0，y0?在圆?x?a???y?b??r上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为：222(x?x0）(x0?a)?(y?y0）(y0?b)?0??x0?a??x?a???y0?b??y?b??r2。
点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。 由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。
（3）若点P?x0，y0?在圆?x?a???y?b??r2外，即?x0?a???y0?b??r2，
过点P?x0，y0?的两条切线与圆相交于A、B两点，则AB两点的直线方程为：
2222(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r2。
6.两圆公共弦所在直线方程：
圆C1：x?y?D1x?E1y?F1?0，圆C2：x?y?D2x?E2y?F2?0， 则?D1?D2?x??E1?E2?y??F1?F2??0为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题：
（1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。
（2）圆C1关于直线对称的圆C2：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。 （3）圆自身关于点P对称：点P就是圆心。
2222（4）圆C1关于点P对称的圆C2：两圆圆心关于点P对称，且半径相等。
例1.已知直线ax?by?c?0中的 a，b，c 是取自集合{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，则这样的直线共有_______条。
例2.已知圆C：x?(y?4)?4，直线l：(3m?1)x?(1?m)y?4?0 （Ⅰ）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；
（Ⅱ）已知坐标轴上点A（0，2）和点T（t，0）满足：存在圆C上的两点P和Q，使得TA?TP?TQ，求实数t的取值范围．
变式训练：
1.直线2ax?(a?1)y?1?0的倾斜角的取值范围是____________ 2.若kxy?8x?9y?12?0表示两条直线，则实数k=__________
3.若点A（1，0）和点B（4，0）到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有____条。 4.直线l过P（1，2），且A（2，3），B（4，﹣5）到l的距离相等，则直线l的方程是_________________ 5.若直线l1：ax?2y?a?3?0与l2：x?(a?1)y?4?0平行，则实数a的值为________ 6.过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，则直线l方程为____________________
7.过点(5，2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是__________________ 8.（2007湖北）已知直线
222xy??1（a，b是非零常数）与圆x2?y2?100有公共点，且 ab公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有_______________条。
9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且△ABC的欧拉线的方程为x?y?2?0，则顶点C的坐标为（ ） A.（﹣4，0） B.（﹣4，﹣2）
C.（﹣2，2） D.（﹣3，0）