由AB1?平面A1B1C1得平面A1B1C1?平面ABB1， 由C1D?A1B1得C1D?平面ABB1， 所以?C1AD是AC1与平面ABB1所成的角. 由BC11?5,A1B1?22,AC11?21得cos?C61A1B1?7,sin?C11A1B1?7， 所以C1D?3， 故sin?CC1D1AD?AC?39. 113因此，直线AC391与平面ABB1所成的角的正弦值是

13. 方法二：（1）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.

y轴由题意知各点坐标如下：

A(0,?3,0),B(1,0,0),A1(0,?3,4),B1(1,0,2),C1(0,3,1), uuuruuuuruuuur因此AB1?(1,3,2),A1B1?(1,3,?2),AC11?(0,23,?3), uuuruuuur由AB1?A1B1?0得AB1?A1B1. uuuruuuurAB1?AC由AB1?AC11. 11?0得

所以AB1?平面A1B1C1.

（2）设直线AC1与平面ABB1所成的角为?.

uuuruuuruuur由（1）可知AC1?(0,23,1),AB?(1,3,0),BB1?(0,0,2),

设平面ABB1的法向量n?(x,y,z).

uuur???x?3y?0,?n?AB?0,r由?uuu即?可取n?(?3,1,0).

2z?0,???n?BB1?0,?uuuruuur|AC?n|39?. 所以sin??|cosAC1,n|?uuur1|AC1|?|n|13因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是

39. 13.6、【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

【解析】

（2）

uuurOA,OB,OC由题设及（1）知，两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方uuur向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.则A?1,0,0?,B0,3,0,C??1,0,0?,D?0,0,1?

??由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC

?131?的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E??0,2,2??.故 2??12uuuruuuruuur?31?. AD???1,0,1?,AC???2,0,0?,AE???1,,???22??uuur?x?z?0,???ngAD?0，?设n=?x,y,z?是平面DAE的法向量，则?uuu即? r31?x?y?z?0。??ngAE?0，??22?3?可取n??. ?1,3,1????uuur??mgAC?0，设m是平面AEC的法向量，则?uuu同理可得m?0,?1,3. r??mgAE?0，??则cosn,m?n?m7?. nm77. 7所以二面角D-AE-C的余弦值为7、【2015江苏高考】如图，在四棱锥P?ABCD中，已知PA?平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯

形，?ABC??BAD?,PA?AD?2,AB?BC?1

2?（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长

【解析】