（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形． 由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形． 由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．

连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）． 不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=23，EG=3. 由于O为A1G的中点，故EO?OG?A1G15?， 22EO2?OG2?EG23?． 所以cos?EOG?2EO?OG5因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是． 方法二：

（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz．

35不妨设AC=4，则

A1（0，0，23），B（3，1，0），B1(3,3,23)，F(0)．

uuuruuur33因此，EF?(,,23)，BC?(?3,1,0)．

2233,,23)，C(0，2，22uuuruuur由EF?BC?0得EF?BC．

（2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ．

uuuruuur10)，AC2?23)． 由（1）可得BC=(?3，，1=(0，，z)， 设平面A1BC的法向量为n?(x，y，uuur????3x?y?0?BC?n?0由?，得?，

AC?n?0???1?y?3z?0uuuruuur|EF?n|4r1)，故sin??|cosEF，n|=uuu?， 取n?(1，3，|EF|?|n|5因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为．

35

本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.

5、【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直

于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；

（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．

【解析】方法一：（1）由AB?2,AA1?4,BB1?2,AA1?AB,BB1?AB得AB1?A1B1?22，

222所以A1B1?AB1?AA1.

故AB1?A1B1.

由BC?2，BB1?2,CC1?1,BB1?BC,CC1?BC得B1C1?5， 由AB?BC?2,?ABC?120?得AC?23，

222由CC1?AC，得AC1?13，所以AB1?B1C1?AC1，故AB1?B1C1.

因此AB1?平面A1B1C1.

（2）如图，过点C1作C1D?A1B1，交直线A1B1于点D，连结AD.