酷酷酷啦啦啦?12?

则S＝100x－y＝100x－?x－200x＋80 000?

?2?

12

＝－x＋300x－80 000

212

＝－(x－300)－35 000，

2因为400≤x≤600，

所以当x＝400时，S有最大值－40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能使该单位不亏损.

真题体验

1．(2016·天津改编)已知函数f(x)＝sin

2

ωx2

＋

11

sin ωx－(ω>0，x∈R)．若f(x)在区间(π，222π)内没有零点，则ω的取值范围是______________．

17

酷酷酷啦啦啦?1??15?

答案 ?0，?∪?，?

8??48??

1－cos ωx11

解析 f(x)＝＋sin ωx－ 222

?π?12

＝(sin ωx－cos ωx)＝sin?ωx－?.

4?22?

因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点， 所以>2π－π，所以>π，所以0<ω<1.

2ω当

πx∈(π，2π)时，ωx－

4

Tπ

?ππ?

∈?ωπ－，2ωπ－?，若函数f(x)在区间

44??

(π，2π)内有零点，

ππk1

则ωπ－

44281

<ω

4

1155

当k＝0时，<ω<；当k＝1时，<ω<.

8484

18

酷酷酷啦啦啦所以函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点时， 115

0<ω≤或≤ω≤.

848

2．(2017·山东改编)已知当x∈[0,1]时，函数

y＝(mx－1)的图象与y＝x＋m的图象有且只有

一个交点，则正实数m的取值范围是______________． 答案 (0,1]∪[3，＋∞)

解析 设f(x)＝(mx－1)，g(x)＝x＋m，在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2

?1?2

＝m?x－?与g(x)＝x＋m的大致图象．

m??

2

2

2

分两种情形：

(1)当0

1

m时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．

19

酷酷酷啦啦啦(2)当m>1时，0<<1，如图②，要使f(x)与g(x)

1

m的图象在[0,1]上只有一个交点，只需

g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．

综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．

3．(2017·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为

?x2，x∈D，1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝?

?x，x?D，?n－1??*??，n∈N其中集合D＝xx＝

n???

??

?，则方程f(x)??

－lg x＝0的解的个数是________． 答案 8

解析 由于f(x)∈[0,1)，则只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，当x∈Q，且x?Z时，设xq*

＝，p，q∈N，p≥2且p，q互质．若lg x∈Q，pn*

则由lg x∈(0,1)，可设lg x＝，m，n∈N，m≥2

m

20