酷酷酷啦啦啦－|－x－3|)＝|x＋3|－1，所以函数f(x)的图象如图所示，令g(x)＝f(x)－a，函数g(x)的零点即为函数y＝f(x)与y＝a的交点，如图所示，共5个．当x∈(－∞，－1]时，令|x＋3|－1＝a，解得x1＝－4－a，x2＝a－2，当x∈(－1,0)时， 令log2(1－x)＝a，解得x3＝1－2；当x∈[1，＋∞)时，令1－|x－3|＝a，解得x4＝4－a，x5＝a＋2，所以所有零点之和为x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝－4－a＋a－2＋1－2＋4－a＋a＋2＝1－2＝11－2，∴a＝.
2
12．(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)若函数f(x)＝ax＋ln x－
aaax2
x－ln x有3个不同的零点，
则实数a的取值范围是( )
??e1?e1?
－? B.?1，－? A.?1，
e－1e?e－1e???
37
酷酷酷啦啦啦?1??1?ee
，－1? D.?－，－1? C.?－?ee－1??ee－1?
答案 A
解析 函数f(x)＝ax＋ln x－同的零点， 等价于a＝不同解， 令g(x)＝
x2x－ln x有3个不
xx－ln xln x－，x∈(0，＋∞)有3个
xxx－ln x－
ln xx，x∈(0，＋∞)，
1－ln x1－ln x则g′(x)＝? 2?2－x?x－ln x?
???
1－ln x2x－ln xln x?????
＝， 22
x?x－ln x?
当x∈(0，＋∞)时，令y＝2x－ln x， 则y′＝2－＝1
2x－1
xx，
?1?
当x∈?0，?时，y′<0，y单调递减；
2??
38
酷酷酷啦啦啦?1?
当x∈?，＋∞?时，y′>0，y单调递增，
?2?
1
则ymin＝1－ln＝1＋ln 2>0，
2
则当x∈(0，＋∞)时，恒有2x－ln x>0， 令g′(x)＝0，得x＝1或x＝e，
且x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
?
x∈??1，e?时，g′(x)>0，g(x)单调递增； ?
e，＋∞x∈???时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
则g(x)的极小值为g(1)＝1， e1g(x)的极大值为g(e)＝－，
e－1e
当x→0时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→1. 结合函数图象(图略)可得， e1当1 e－1e y＝a 与g(x)＝ 的交点， xx－ln x－ ln xx的图象有3个不同 39 酷酷酷啦啦啦即方程a＝不同解， xx－ln xln x－，x∈(0，＋∞)有3个 x即函数f(x)＝ax＋ln x－零点， x2x－ln x有3个不同的 ?e1? －?. 所以a的取值范围是?1， e－1e?? 13．已知函数f(x)＝|x|(2－x)，关于x的方程 f(x)＝m(m∈R)有三个不同的实数解x1，x2，x3， 则x1x2x3的取值范围为________． 答案 (1－2，0) ?x－2x，x<0， 解析 f(x)＝|x|(2－x)＝?2 2x－x，x≥0，? 2 如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3， 40