(全国通用版)2019高考数学二轮复习-专题六-函数与导数-第2讲-函数的应用学案-文 下载本文

酷酷酷啦啦啦-|-x-3|)=|x+3|-1,所以函数f(x)的图象如图所示,令g(x)=f(x)-a,函数g(x)的零点即为函数y=f(x)与y=a的交点,如图所示,共5个.当x∈(-∞,-1]时,令|x+3|-1=a,解得x1=-4-a,x2=a-2,当x∈(-1,0)时, 令log2(1-x)=a,解得x3=1-2;当x∈[1,+∞)时,令1-|x-3|=a,解得x4=4-a,x5=a+2,所以所有零点之和为x1+x2+x3+x4+x5=-4-a+a-2+1-2+4-a+a+2=1-2=11-2,∴a=.

2

12.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)若函数f(x)=ax+ln x-

aaax2

x-ln x有3个不同的零点,

则实数a的取值范围是( )

??e1?e1?

-? B.?1,-? A.?1,

e-1e?e-1e???

37

酷酷酷啦啦啦?1??1?ee

,-1? D.?-,-1? C.?-?ee-1??ee-1?

答案 A

解析 函数f(x)=ax+ln x-同的零点, 等价于a=不同解, 令g(x)=

x2x-ln x有3个不

xx-ln xln x-,x∈(0,+∞)有3个

xxx-ln x-

ln xx,x∈(0,+∞),

1-ln x1-ln x则g′(x)=? 2?2-x?x-ln x?

???

1-ln x2x-ln xln x?????

=, 22

x?x-ln x?

当x∈(0,+∞)时,令y=2x-ln x, 则y′=2-=1

2x-1

xx,

?1?

当x∈?0,?时,y′<0,y单调递减;

2??

38

酷酷酷啦啦啦?1?

当x∈?,+∞?时,y′>0,y单调递增,

?2?

1

则ymin=1-ln=1+ln 2>0,

2

则当x∈(0,+∞)时,恒有2x-ln x>0, 令g′(x)=0,得x=1或x=e,

且x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;

?

x∈??1,e?时,g′(x)>0,g(x)单调递增; ?

e,+∞x∈???时,g′(x)<0,g(x)单调递减,

则g(x)的极小值为g(1)=1, e1g(x)的极大值为g(e)=-,

e-1e

当x→0时,g(x)→+∞,当x→+∞时,g(x)→1. 结合函数图象(图略)可得, e1当1

e-1e

y=a 与g(x)=

的交点,

xx-ln x-

ln xx的图象有3个不同

39

酷酷酷啦啦啦即方程a=不同解,

xx-ln xln x-,x∈(0,+∞)有3个

x即函数f(x)=ax+ln x-零点,

x2x-ln x有3个不同的

?e1?

-?. 所以a的取值范围是?1,

e-1e??

13.已知函数f(x)=|x|(2-x),关于x的方程

f(x)=m(m∈R)有三个不同的实数解x1,x2,x3,

则x1x2x3的取值范围为________. 答案 (1-2,0)

?x-2x,x<0,

解析 f(x)=|x|(2-x)=?2

2x-x,x≥0,?

2

如图所示,关于x的方程f(x)=m恰有三个互不相等的实根x1,x2,x3,

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