酷酷酷啦啦啦－|－x－3|)＝|x＋3|－1，所以函数f(x)的图象如图所示，令g(x)＝f(x)－a，函数g(x)的零点即为函数y＝f(x)与y＝a的交点，如图所示，共5个．当x∈(－∞，－1]时，令|x＋3|－1＝a，解得x1＝－4－a，x2＝a－2，当x∈(－1,0)时， 令log2(1－x)＝a，解得x3＝1－2；当x∈[1，＋∞)时，令1－|x－3|＝a，解得x4＝4－a，x5＝a＋2，所以所有零点之和为x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝－4－a＋a－2＋1－2＋4－a＋a＋2＝1－2＝11－2，∴a＝.

2

12．(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)若函数f(x)＝ax＋ln x－

aaax2

x－ln x有3个不同的零点，

则实数a的取值范围是( )

??e1?e1?

－? B.?1，－? A.?1，

e－1e?e－1e???

37

酷酷酷啦啦啦?1??1?ee

，－1? D.?－，－1? C.?－?ee－1??ee－1?

答案 A

解析 函数f(x)＝ax＋ln x－同的零点， 等价于a＝不同解， 令g(x)＝

x2x－ln x有3个不

xx－ln xln x－，x∈(0，＋∞)有3个

xxx－ln x－

ln xx，x∈(0，＋∞)，

1－ln x1－ln x则g′(x)＝? 2?2－x?x－ln x?

???

1－ln x2x－ln xln x?????

＝， 22

x?x－ln x?

当x∈(0，＋∞)时，令y＝2x－ln x， 则y′＝2－＝1

2x－1

xx，

?1?

当x∈?0，?时，y′<0，y单调递减；

2??

38

酷酷酷啦啦啦?1?

当x∈?，＋∞?时，y′>0，y单调递增，

?2?

1

则ymin＝1－ln＝1＋ln 2>0，

2

则当x∈(0，＋∞)时，恒有2x－ln x>0， 令g′(x)＝0，得x＝1或x＝e，

且x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；

?

x∈??1，e?时，g′(x)>0，g(x)单调递增； ?

e，＋∞x∈???时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

则g(x)的极小值为g(1)＝1， e1g(x)的极大值为g(e)＝－，

e－1e

当x→0时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→1. 结合函数图象(图略)可得， e1当1

e－1e

y＝a 与g(x)＝

的交点，

xx－ln x－

ln xx的图象有3个不同

39

酷酷酷啦啦啦即方程a＝不同解，

xx－ln xln x－，x∈(0，＋∞)有3个

x即函数f(x)＝ax＋ln x－零点，

x2x－ln x有3个不同的

?e1?

－?. 所以a的取值范围是?1，

e－1e??

13．已知函数f(x)＝|x|(2－x)，关于x的方程

f(x)＝m(m∈R)有三个不同的实数解x1，x2，x3，

则x1x2x3的取值范围为________． 答案 (1－2，0)

?x－2x，x<0，

解析 f(x)＝|x|(2－x)＝?2

2x－x，x≥0，?

2

如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，

40