A．3,5 B．5,5 C．3,7 D．5,7 答案 A

解析 甲组数据的中位数为65，由甲，乙两组数据的中位数相等，得y＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等，

11

∴×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故选A. 55

2．(2017·长沙一模)空气质量指数(Air Quality Index，简单AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如下．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为________．(该年有365天)

答案 146

2解析 该样本中AQI大于100的频数是4，频率为，

52

由此估计该地全年AQI大于100的频率为，

52

估计此地该年AQI大于100的天数约为365×＝146.

5思维升华 茎叶图的优缺点

由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐．

题型二 频率分布直方图的绘制与应用

命题点1 用频率分布直方图求频率、频数

典例 从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的小长方形的高之比为1∶3∶6∶4∶2，最右边一组的频数是6，请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：

(1)求样本的容量； (2)列出频率分布表；

(3)成绩落在哪个范围内的人数最多，并求出该小组的频数、频率； (4)估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分比．

解 (1)由于最右边一组的频数是6，从左到右各小组的长方形的高之比为1∶3∶6∶4∶2， 故设样本容量为n，得(1＋3＋6＋4＋2)∶n＝2∶6， 6

解得n＝(1＋3＋6＋4＋2)×＝48.

2(2)频率分布表如下：

分组 [50.5,60.5) [60.5,70.5) [70.5,80.5) [80.5,90.5) [90.5,100.5) 合计

3

(3)由(2)知成绩落在[70.5,80.5)内的人数最多，频数为18，频率为. 8

3＋6＋4＋2

(4)估计成绩高于60分的学生占总人数的百分比为×100%＝93.75%.

1＋3＋6＋4＋2命题点2 用频率分布直方图估计总体

频数 3 9 18 12 6 48 频率 1 163 163 81 41 81

典例 (2016·四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数．

解 (1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04. 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.

由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a， 解得a＝0.30.

(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万．理由如下：

由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.

(3)设中位数为x吨．

因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5. 而前4组的频率之和为

0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5. 所以2≤x<2.5.

由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．

思维升华 (1)准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆． (2)在很多题目中，频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．

跟踪训练 (2017·北京)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，

[30,40)，…，[80,90)，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

解 (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6， 所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，

所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5， 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×

5

＝20. 100

(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为 (0.02＋0.04)×10×100＝60，

1

所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30，

2所以样本中的男生人数为30×2＝60， 女生人数为100－60＝40，

所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，

所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2. 题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征

典例 (1)(2017·南京模拟)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：

运动员 甲 乙

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________． 答案 2

第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 第5次 93 92