§11.2 统计图表、用样本估计总体
最新考纲 1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点． 2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差． 3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数，标准差)，并做出合理的解释． 4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想． 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. 主要考查平均数，方差的计算以及茎叶图与频率分布直方图的简单应用；题型以选择题和填空题为主，出现解答题时经常与概率相结合，难度为中低档. 考情考向分析
1．统计图表
统计图表是表达和分析数据的重要工具，常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图等． 2．数据的数字特征 (1)众数、中位数、平均数
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．
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平均数：样本数据的算术平均数，即x＝(x1＋x2＋…＋xn)．
n在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (2)样本方差、标准差 标准差s＝
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[?x1－x?＋?x2－x?＋…＋?xn－x?]，
n其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，x是平均数．
标准差是刻画数据的离散程度的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． 3．用样本估计总体
(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．
(2)在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，
Δxi各小长方形的面积总和等于1.
(3)在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率折线图．
(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它没有信息的缺失，而且可以随时记录，方便表示与比较． 知识拓展
1．频率分布直方图的特点
(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×. ΔxiΔxi(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．
(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观． 2．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a.
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s.
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为as.
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2
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题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( √ ) (2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．( × ) (3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．( √ )
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( × )
(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ ) (6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．( × ) 题组二 教材改编
2．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为( ) A．4 B．8 C．12 D．16 答案 B
解析 设频数为n，则＝0.25，
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∴n＝32×＝8.
4
3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
n
A．91.5和91.5 C．91和91.5 答案 A
91＋92
解析 ∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数是＝91.5，
287＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96
平均数x＝＝91.5.
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4．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有________人．
B．91.5和92 D．92和92
答案 25
解析 0.5×0.5×100＝25. 题组三 易错自纠
5．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数x＝5，方差s＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为( ) A．5,2 C．16,18 答案 C
解析 ∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5， ∴∴
B．16,2 D．16,9
2
x1＋x2＋x3＋…＋xn＝5，
n3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xn＋1＝3×5＋1＝16，
n∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2，
∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是3×2＝18.
6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为x，则m，n，x的大小关系为________．(用“<”连接)
2
答案 n 解析 由图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即m＝5.5；又5出现次数最多，故n＝5； x＝ 2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10 30 ≈5.97. 故n 题型一 茎叶图的应用 1．(2017·山东)如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( )