数列知识点总结

一、等差数列与等比数列 定义 通项公式 递推公式 中项 等差数列 an?1-an=d 等比数列 an?1=q(q?0) anan=a1qn?1(q?0) an=an?1q an=amqn?m an=a1+（n-1）d an=an?1+d, an=am+(n-m)d a?an?ka?bA= 推广：A=n?k（n,k 22?N+ ;n>k>0） G2?ab。推广：G=?an?kan?k（n,k ?N+ ;n>k>0）。任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个 前n项和 性质 a1(1?qn)Sn= 1?qa?anqSn=1 1?q（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq； （1）若m?n?p?q，则·an?ap·aq （2）数列?a2n?1?,?a2n?,?a2n?1?仍为等差数amSn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍列，n2为等比数列,公比为q 列，公差为nd； （3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则nSn=（a1+an） 2n(n?1)Sn=na1+d 2amS2m?1? bmT2m?12（5）?an?为等差数列?Sn?an?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数） （6）d=am?an(m?n) m?n(7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列 二、求数列通项公式的方法

1、通项公式法：等差数列、等比数列

an??2、涉及前ｎ项和Sn求通项公式，利用an与Sn的基本关系式来求。即

?s1?a1(n?1)?sn?sn?1(n?2)例1、在数列｛an｝中，Sn表示其前ｎ项和，且Sn?n,求通项an.

2例2、在数列｛an｝中，Sn表示其前ｎ项和，且Sn?2?3an,求通项an 3、已知递推公式，求通项公式。

（1）叠加法：递推关系式形如an?1?an?f?n?型

例3、已知数列｛an｝中，a1?1，an?1?an?n，求通项an 练习1、在数列｛an｝中，a1?3，an?1?an?2，求通项an

nan?1ann例4、在数列｛an｝中，a1?1，a ?an，求通项an n?1n?1n练习2、在数列｛an｝中，a1?3，an?1?an?2，求通项an ?f?n?型 （2）叠乘法：递推关系式形如 （3）构造等比数列：递推关系式形如an?1?Aan?B(A,B均为常数，A≠1,B≠0) 例5、已知数列｛an｝满足a1?4，an?3an?1?2，求通项an 练习3、已知数列｛an｝满足a1?3，an?1?2an?3，求通项an （4）倒数法

an?1?例6、在数列{an}中，已知a1?1, ,求数列的通项an

四、求数列的前n项和的方法

1、利用常用求和公式求和： 等差数列求和公式：Sn?2anan?2n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?q2、错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列 .[例1] 求数列

2462n,2,3,???,n,???前n项的和. 222223n?1[例2] 求和：Sn?1?3x?5x?7x?????(2n?1)x

a1?an?a2?an?1???am?an?m?1 3、倒序相加法：数列｛an｝的第m项与倒数第m项的和相等。即：

[例3] 求sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89的值 [例4] 函数f?x?对任x?R都有f?x??f?1?x?? f?0??f?2?2?2?2?2?1，求： 2?1??2??n?1???f?????f???f?1? nnn??????4、分组求和法：主要用于求数列{an?bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列 [例5] 求数列：1?1111,2?,3?,?,n?n,?的前n项和 2482 [例6] 求和：?a?1??a?2?a?3???a?n

23n??????5、裂项相消法：通项分解 （1）an?1111111???(?) （2）an?n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k111?n?1?n （4）an??(n?k?n)

n?1?nn?k?nk212n，又bn?，求数列{bn}的前n项的和. ????an?an?1n?1n?1n?1 （3）an?[例7] 在数列{an}中，an?[例8] 已知正项数列{an}满足a1且a21?n?1?a2n?1?n?N*?

（Ⅰ）求数列{an}的前n项的和 （Ⅱ）令b1n?aa，求数列{bn}的前n项的和Tn

n?n?1五、在等差数列｛an｝中,有关Sn 的最值问题

：(1)当a时，满足??am?01>0,d<0的项数m使得s?am取最大值.

m?1?0 (2)当a?am?01<0,d>0时，满足?的项数m使得s?a0m取最小值。

m?1?