（3）lubB=6, glbB=1

五、证明题

1. 设?1,?2为集合A上的等价关系, 试证?1??2也是集合A上的等价关系。 证明：由于?1,?2是自反的，所以对任意a?A,?a,a???1,?a,a???2, 因而

?a,a???1??2，即?1??2是自反的。

若?a,b???1??2，则?a,b???1,?a,b???2,由于?1,?2是对称的，所以?b,a???1,?b,a???2, 从而?b,a???1??2，即?1??2是对称的。 若，则 ?a,b?,?b,c???1??2?a,b?,?b,c???1,?a,b?,?b,c???2,由于?1,?2是传递的，所以?a,c???1,?a,c???2, 从而?a,c???1??2，即?1??2是传递的。 由于?1??2是自反的、对称的和传递的，所以?1??2是等价关系。

第二章 代数系统

一、判断题

（1）集合A上的任一运算对A是封闭的． （ 对 ） （2）代数系统的零元是可逆元. （ 错 ） （3）设A是集合，?:A?A?A，a?b?b，则?是可结合的． （ 对 ） （4）设a,b是代数系统?A,??的元素，如果a?b?b?a?e(e是该代数系统的单位元），则

a?1?b. ( 对 )

（5）设a,b是群?G,??的元素,则(a?b)?1?a?1?b?1. （ 错 ） （6）设?G,??是群．如果对于任意a,b?G，有 (a?b)?a?b，则?G,??是阿贝尔群． （ 对 ）

222. （ 对 ） （7）设?L,?,??是格,则运算?满足幂等律（8）设集合A?{a,b}，则?{?,{a},{b},A},?,??是格． （ 对 ） （9）设?B,?,?,?是布尔代数，则?B,?,??是格． （ 对 ）

5

二、单项选择题

（1）在整数集Z上，下列哪种运算是可结合的 （ B ）

a,b} A. a?b?a?b B．a?b?max{C. a?b?a?2b D. a?b?|a?b|

（2）下列定义的实数集R上的运算 * 中可结合的是. （ C ）

A．a?b?a?a?b B．a?b?a?2a?b C．a?b?b

D．a?b?a?b

其中，+，·，︱ ︱分别为实数的加法、乘法和取绝对值运算.

（3）设集合A??1,2,3,4,?,10?，下面定义的哪种运算关于集合A不是封闭的

（ D ）

A. x?y?max{x,y} B． x?y?min{x,y}

C. x?y?GCD{x,y}，即x,y的最大公约数 D. x?y?LCM{x,y}，即x,y的最小公倍数

（4）下列哪个集关于减法运算是封闭的 （ B ） A. N（自然数集）； B．{2x|x?Z(整数集)}； C. {2x?1|x?Z}； D. {x|x是质数}.

（5）设Q是有理数集，在Q定义运算?为a?b?a?b?ab，则Q,?的单位元 为 （ D ） A. a； B．b； C. 1； D. 0

（6）设代数系统?A，·?，则下面结论成立的是. （ C ） A．如果?A，·?是群，则?A，·?是阿贝尔群 B．如果?A，·?是阿贝尔群，则?A，·?是循环群 C．如果?A，·?是循环群，则?A，·?是阿贝尔群 D．如果?A，·?是阿贝尔群，则?A，·?必不是循环群

（7）循环群Z,?的所有生成元为 （ D ） A. 1，0 B．-1，2 C. 1，2 D. 1，-1 三、填空题

6

A

1. 设A为非空有限集，代数系统?2A,??中，2对运算?的单位元为 ，零元

为 .填?,A

2.代数系统?Z,??中（其中Z为整数集合，+为普通加法），对任意的x?I，其

x?1? .填?x

3.在整数集合Z上定义?运算为a?b?a?2?b，则?Z,??的单位元为 . 解 设单位元为e，a?e?a?2?e?a，所以e??2，

又a?(?2)?a?2?(?2)?a,(?2)?a?(?2)?2?a?a，所以单位元为e??2

4.在整数集合Z上定义?运算为a?b?a?b?ab，则?Z,??的单位元为 . 解设单位元为e，a?e?a?e?ae?a，(1?a)e?0，所以e?0

5.设G,?是群，对任意a,b,c?G，如果a?b?a?c,，则 .填b?c 6.设G,?是群，e为单位元，若G元素a满足a?a，则a? .填e 四、解答题

1.设?为实数集R上的二元运算，其定义为

2?:R2?R,a?b?a?b?2ab，对于任意a,b?R

求运算?的单位元和零元。

解：设单位元为e，则对任意a?R，有a?e?a?e?2ae?a， 即 e(1?2a)?0，由a的任意性知 e?0，

又对任意a?R，a?0?a?0?0?a；0?a?0?a?0?a

所以单位元为0 设零元为?，则对任意a?R，有a???a???2a???， 即 a(1?2?)?0，由a的任意性知 ???又对任意a?R，a?(?)?a?所以零元为 ?1 21211111?a??，(?)?a???a?a?? 222221 22. 设?为集合I5?{0,1,2,3,4}上的二元运算，其定义为

?:I5?I5,a?b?(ab)mod5，对于任意a,b?I5

（1） 写出运算?的运算表；

（2） 说明运算?是否满足交换律、结合律，是否有单位元和零元、如果有请指出； （3） 写出所有可逆元的逆元 解：（1）运算表为

27

? 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1

（2）运算?满足交换律、结合律，有单位元，单位元为1，有零元，零元为0； （3）1的逆元为1，2的逆元为3，3的逆元为2，4的逆元4，0没有逆元

五、证明题

1. 设 ?G,?? 是一个群，试证 G 是交换群 当且仅当对任意的a,b?G ,有 a2?b2?(a?b)2 . 证明：充分性

若在群?G,??中，对任意的a,b?G ,有a2?b2?(a?b)2 . 则 (a?a)?(b?b)?(a?b)?(a?b) a?(a?b)?b?a?(b?a)?b

a?b?b?a 从而 ?G,?? 是一个交换群。 必要性

若?G,?? 是一个交换群，对任意的a,b?G ,有a?b?b?a，则 a?(a?b)?b?a?(b?a)?b (a?a)?(b?b)?(a?b)?(a?b) 即a?b?(a?b).

2. 证明代数系统?Z,??是群，其中二元运算?定义如下：

?：Z?Z，x?y?x?y?3 （这里，+，－分别是整数的加法与减法运算.） 证明 （1）运算满足交换律 对任意x,y,z?Z，由

2222(x?y)?z?(x?y?3)?z?x?y?z?6,

x?(y?z)?x?(y?z?3)?x?y?z?6

得(x?y)?z?x?(y?z),即?满足结合律；

（2）有单位元 3是单位元； （3）任意元素有逆元 对任意x?Z，x?1?6?x.所以,?Z，??是群.

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