【解答】解：根据图形有：∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°， 根据折叠的性质，∠EFC=∠EDC=90°， 即∠AFE+∠BFC=90°，

而Rt△BCF中，有∠BCF+∠BFC=90°， 易得∠AFE=∠BCF， 在Rt△BFC，

根据折叠的性质，有CF=CD，

在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10， 由勾股定理易得：BF=6， 则tan∠BCF=；

故有tan∠AFE=tan∠BCF=； 答：tan∠AFE=．

28．（2012?芜湖县校级自主招生）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．

类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=

．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．

根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°的值为（ ）A． B．1 C．

D．2

（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 0＜sadA＜2 ． （3）已知sinα=，其中α为锐角，试求sadα的值．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；

（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；

（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答． 【解答】解：（1）根据正对定义，

当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°， 则三角形为等边三角形，

资料

则sad60°==1．

故选B．

（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，

当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2． 于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2． 故答案为0＜sadA＜2．

（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=． 在AB上取点D，使AD=AC，

作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k， 则AD=AC=

=4k，

又∵在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=． ∴DH=ADsin∠A=

k，AH=

=

k．

=

k．

．

k．

则在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，CD=于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=由正对的定义可得：sadA=

=

，即sadα=

29．（2003?新疆）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；

（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小； （3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）

若∠α=45°，则sinα = cosα；若∠α＜45°，则sinα ＜ cosα；若∠α＞45°，则sinα ＞ cosα；

（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小： sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．

资料

【分析】（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小． （2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．

（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．

（4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【解答】解：（1）在图（1）中，令AB1=AB2=AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，

显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC． ∵sin∠B1AC=

，sin∠B2AC=

，sin∠B3AC=

，

而＞＞．

∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC． 在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C=90°， cos∠B1AC=

，cos∠B2AC=

，cos∠B3AC=

，

∵AB3＞AB2＞AB1， ∴

＜

＜

．

即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC．

（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°； cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．

（3）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．

（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°． 30．（2014?上海）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH． （1）求sinB的值；

（2）如果CD=，求BE的值．

资料

【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；

（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE． 【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴CD=BD， ∴∠B=∠BCD， ∵AE⊥CD，

∴∠CAH+∠ACH=90°， 又∠ACB=90°

∴∠BCD+∠ACH=90°

∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH， ∵AH=2CH，

∴由勾股定理得AC=CH， ∴CH：AC=1：， ∴sinB=

（2）∵sinB=

， ；

∴AC：AB=1：， ∴AC=2．

∵∠CAH=∠B， ∴sin∠CAH=sinB=

=

，

x）2，

设CE=x（x＞0），则AE=x，则x2+22=（∴CE=x=1，AC=2，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， ∵AB=2CD=2， ∴BC=4，

∴BE=BC﹣CE=3．

资料